kaoyan1basic 高等数学 第646题

**答案**：D **解析**：步骤1：展开$(bx+ay)^2=b^2x^2+2abxy+a^2y^2$。步骤2：由对称性，$\oint_L xy\mathrm{d}s=0$。步骤3：$\displaystyle \oint_L x^2\mathrm{d}s=\frac{1}{2}\oint_L (x^2+y^2)\mathrm{d}s$，但椭圆上$x^2+y^2$不是常数。利用参数方程，或由$\displaystyle \oint_L x^2\mathrm{d}s=\frac{a^2}{2}l$？更准确：由对称性，$\displaystyle \oint_L x^2\mathrm{d}s=\frac{a^2}{2}l$？实际上，对于椭圆$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，有$\displaystyle \oint_L x^2\mathrm{d}s=a^2\oint_L \frac{x^2}{a^2}\mathrm{d}s$，但不易直接。利用公式：$\displaystyle \oint_L x^2\mathrm{d}s=\frac{a^2}{2}l$？错误。正确做法：由$\displaystyle \oint_L \frac{x^2}{a^2}\mathrm{d}s=\oint_L \frac{y^2}{b^2}\mathrm{d}s$，且$\displaystyle \oint_L \left(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\right)\mathrm{d}s=\oint_L 1\mathrm{d}s=l$，故$\displaystyle \oint_L x^2\mathrm{d}s=\frac{a^2}{2}l$？不对，因为系数不同。设$I_x=\oint_L x^2\mathrm{d}s$，$I_y=\oint_L y^2\mathrm{d}s$，则$\displaystyle \frac{I_x}{a^2}+\frac{I_y}{b^2}=l$，且由对称性$I_x$与$I_y$关系？实际上，对于椭圆，$I_x$和$I_y$无简单比例。但本题中$b^2x^2+a^2y^2$，积分$\oint_L(b^2x^2+a^2y^2)\mathrm{d}s$，由$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$得$b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2$，故原积分$=a^2b^2\oint_L\mathrm{d}s=a^2b^2l$。 **难度**：★★★☆☆