kaoyan1basic 高等数学 第647题
📝 题目
## 第647题 (高等数学 - 选择题) 设 $L$ 是以 $A(1,0), B(0,1), C(-1,0), D(0,-1)$ 为顶点的正方形边界，则 $\displaystyle \oint_{L} \frac{x+y+1}{|x|+|y|} \mathrm{d} s$ 等于 （A） $4 \sqrt{2}$ ． （B） 0 ． （C） $2 \sqrt{2}$ ． （D） 4 ． ## －纠错笔记
💡 答案解析
**答案**：A **解析**：步骤1：正方形边界由四条线段组成，每条线段上$|x|+|y|=1$。步骤2：被积函数$\displaystyle \frac{x+y+1}{|x|+|y|}=x+y+1$。步骤3：计算$\oint_L (x+y+1)\mathrm{d}s$，由对称性，$\oint_L x\mathrm{d}s=0$，$\oint_L y\mathrm{d}s=0$，$\oint_L 1\mathrm{d}s=$周长$=4\sqrt{2}$。故结果为$4\sqrt{2}$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：分析被积函数和积分路径
正方形边界由四条线段组成：AB、BC、CD、DA。在每条线段上，|x|+|y|=1，因此被积函数简化为 x+y+1。
公式：|x|+|y|=1
提示：注意正方形顶点坐标，确定边界上|x|+|y|恒为1。
步骤 2/2
目标：将曲线积分转化为定积分
计算 ∮_L (x+y+1) ds。由于对称性，∮_L x ds = 0，∮_L y ds = 0，∮_L 1 ds = 周长 = 4√2。因此结果为 4√2。
公式：∮_L x ds = 0, ∮_L y ds = 0, 周长 = 4√2
提示：利用对称性简化计算。
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