kaoyan1basic 高等数学 第648题
📝 题目
## 第648题 (高等数学 - 选择题) 在力场 $\displaystyle \boldsymbol{F}=\frac{y^{3} \boldsymbol{i}-x^{3} \boldsymbol{j}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$ 的作用下，一质点沿圆周 $x^{2}+y^{2}=1$ 逆时针运动一圈所做的功为 （A）$\displaystyle \frac{\pi}{2}$ ． （B）$\displaystyle \frac{3 \pi}{2}$ ． （C）$\displaystyle -\frac{\pi}{2}$ ． （D）$\displaystyle -\frac{3 \pi}{2}$ ．
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：步骤1：功$\displaystyle W=\oint_L \boldsymbol{F}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{r}=\oint_L \frac{y^3}{\sqrt{x^2+y^2}}\mathrm{d}x-\frac{x^3}{\sqrt{x^2+y^2}}\mathrm{d}y$，$L:x^2+y^2=1$。步骤2：在$L$上，$\sqrt{x^2+y^2}=1$，故$W=\oint_L y^3\mathrm{d}x-x^3\mathrm{d}y$。步骤3：利用格林公式，$\displaystyle W=\iint_D\left(\frac{\partial(-x^3)}{\partial x}-\frac{\partial(y^3)}{\partial y}\right)\mathrm{d}\sigma=\iint_D(-3x^2-3y^2)\mathrm{d}\sigma=-3\iint_D(x^2+y^2)\mathrm{d}\sigma$，$D:x^2+y^2\leq1$。步骤4：极坐标，$\displaystyle -3\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\int_0^1 r^2\cdot r\mathrm{d}r=-3\cdot2\pi\cdot\frac{1}{4}=-\frac{3\pi}{2}$。 **难度**：★★★☆☆