kaoyan1basic 高等数学 第649题

**答案**：C **解析**：步骤1：$\displaystyle \frac{\partial u}{\partial n}=\nabla u\cdot\vec{n}$，由高斯公式，$\displaystyle \oint_L \frac{\partial u}{\partial n}\mathrm{d}s=\iint_D \nabla^2 u\mathrm{d}\sigma$，其中$D$为$L$所围区域。步骤2：$\displaystyle \nabla^2 u=\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=x^2+y^2$。步骤3：$\displaystyle \iint_D (x^2+y^2)\mathrm{d}\sigma=\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\int_0^1 r^2\cdot r\mathrm{d}r=2\pi\cdot\frac{1}{4}=\frac{\pi}{2}$。注意：原题答案为$\pi$？重新计算：$\displaystyle \iint_D (x^2+y^2)\mathrm{d}\sigma=\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\int_0^1 r^3\mathrm{d}r=2\pi\cdot\frac{1}{4}=\frac{\pi}{2}$。但选项C为$\pi$，可能我算错？检查：$\nabla^2 u=x^2+y^2$，积分$\displaystyle \iint_D (x^2+y^2)\mathrm{d}\sigma=\frac{\pi}{2}$，但答案选C，说明方向问题？外法线方向，$\displaystyle \frac{\partial u}{\partial n}=\nabla u\cdot\vec{n}$，高斯公式给出$\displaystyle \oint_L \frac{\partial u}{\partial n}\mathrm{d}s=\iint_D \nabla^2 u\mathrm{d}\sigma$，结果$\displaystyle \frac{\pi}{2}$，但选项无此值。可能$\vec{n}$是外法线，但曲线积分与方向有关？实际上，$\displaystyle \frac{\partial u}{\partial n}$是方向导数，$\displaystyle \oint_L \frac{\partial u}{\partial n}\mathrm{d}s=\iint_D \nabla^2 u\mathrm{d}\sigma$正确，结果为$\displaystyle \frac{\pi}{2}$。但题目选项C为$\pi$，D为$-\pi$，可能我漏了因子？再算：$\displaystyle \iint_D (x^2+y^2)\mathrm{d}\sigma=\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\int_0^1 r^3\mathrm{d}r=2\pi\cdot\frac{1}{4}=\frac{\pi}{2}$。无匹配。可能题目中$\displaystyle u=\frac{1}{12}(x^4+y^4)$，$\nabla^2 u=x^2+y^2$，积分正确。但答案选C，说明可能是$\displaystyle \oint_L \frac{\partial u}{\partial n}\mathrm{d}s=\iint_D \nabla^2 u\mathrm{d}\sigma$，但这里$\mathrm{d}s$是弧长，结果应为$\displaystyle \frac{\pi}{2}$。检查选项，C为$\pi$，可能我积分区域半径？$L$是$x^2+y^2=1$，半径1，正确。也许题目期望用另一种方法？或者我误解了$\displaystyle \frac{\partial u}{\partial n}$，$\vec{n}$是外法线，但$\displaystyle \frac{\partial u}{\partial n}=\nabla u\cdot\vec{n}$，而$\vec{n}=(x,y)$（单位外法线），则$\displaystyle \frac{\partial u}{\partial n}=\frac{1}{3}(x^3,y^3)\cdot(x,y)=\frac{1}{3}(x^4+y^4)$，则$\displaystyle \oint_L \frac{1}{3}(x^4+y^4)\mathrm{d}s$，由对称性，$\oint_L x^4\mathrm{d}s=\oint_L y^4\mathrm{d}s$，且$\oint_L (x^4+y^4)\mathrm{d}s$，用参数方程$x=\cos\theta,y=\sin\theta$，$\mathrm{d}s=\mathrm{d}\theta$，则$\displaystyle \int_0^{2\pi}(\cos^4\theta+\sin^4\theta)\mathrm{d}\theta=\int_0^{2\pi}(1-2\sin^2\theta\cos^2\theta)\mathrm{d}\theta=2\pi-2\cdot\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{2}$，乘以$\displaystyle \frac{1}{3}$得$\displaystyle \frac{\pi}{2}$。仍为$\displaystyle \frac{\pi}{2}$。但答案C为$\pi$，可能我计算有误？$\displaystyle \int_0^{2\pi}\cos^4\theta\mathrm{d}\theta=\frac{3\pi}{4}$，$\displaystyle \int_0^{2\pi}\sin^4\theta\mathrm{d}\theta=\frac{3\pi}{4}$，和为$\displaystyle \frac{3\pi}{2}$，乘以$\displaystyle \frac{1}{3}$得$\displaystyle \frac{\pi}{2}$。故应选？但选项无$\displaystyle \frac{\pi}{2}$，只有$\pi$和$-\pi$。可能题目中$\displaystyle u=\frac{1}{12}(x^4+y^4)$，$\displaystyle \frac{\partial u}{\partial n}=\frac{1}{3}(x^3\cos\alpha+y^3\cos\beta)$，但$\cos\alpha=x,\cos\beta=y$，结果同上。或者用高斯公式时，$\displaystyle \oint_L \frac{\partial u}{\partial n}\mathrm{d}s=\iint_D \nabla^2 u\mathrm{d}\sigma$，$\nabla^2 u=x^2+y^2$，积分$\displaystyle \frac{\pi}{2}$。矛盾。可能答案有误？根据常见题，此类题结果常为$\pi$，可能我漏了因子2。重新计算$\iint_D (x^2+y^2)\mathrm{d}\sigma$，极坐标：$\displaystyle \int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\int_0^1 r^3\mathrm{d}r=2\pi\cdot\frac{1}{4}=\frac{\pi}{2}$。正确。但选项C为$\pi$，D为$-\pi$，可能题目中$L$方向？外法线方向导数积分与内法线差负号，但这里外法线，结果为正。故可能正确答案为$\displaystyle \frac{\pi}{2}$，但无此选项，说明我可能误解题意。检查原题：$\displaystyle \oint_L \frac{\partial u}{\partial \boldsymbol{n}} \mathrm{~d} s$，$\boldsymbol{n}$为$L$的外法线向量。常见结论：$\displaystyle \oint_L \frac{\partial u}{\partial n}\mathrm{d}s=\iint_D \nabla^2 u\mathrm{d}\sigma$，正确。结果$\displaystyle \frac{\pi}{2}$。但选项A为0，B为$\displaystyle \frac{\pi}{2}$？原题选项：（A）0．（B）$\displaystyle \frac{\pi}{2}$．（C）$\pi$．（D）$-\pi$。故B为$\displaystyle \frac{\pi}{2}$，应选B。之前误看，正确为B。 **难度**：★★★☆☆