kaoyan1basic 高等数学 第650题

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📝 题目

## 第650题 (线性代数 - 选择题) 设 $\Sigma$ 为球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}, \cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma$ 为该球面外法线向量的方向余弦，则 $\oiint_{\Sigma}\left(x^{3} \cos \alpha+y^{3} \cos \beta+z^{3} \cos \gamma\right) \mathrm{d} S$ 等于 （A） $4 \pi R^{5}$ ． （B） $2 \pi R^{3}$ ． （C） $3 \pi R^{4}$ ． （D）$\displaystyle \frac{12 \pi R^{5}}{5}$ ． ## －纠错笔记

💡 答案解析

**答案**：D **解析**：步骤1：由高斯公式，$\displaystyle \oiint_{\Sigma}(x^3\cos\alpha+y^3\cos\beta+z^3\cos\gamma)\mathrm{d}S=\iiint_{\Omega}\left(\frac{\partial x^3}{\partial x}+\frac{\partial y^3}{\partial y}+\frac{\partial z^3}{\partial z}\right)\mathrm{d}v=3\iiint_{\Omega}(x^2+y^2+z^2)\mathrm{d}v$，其中$\Omega:x^2+y^2+z^2\leq R^2$。步骤2：球坐标，$\displaystyle 3\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\int_0^{\pi}\mathrm{d}\varphi\int_0^R r^2\cdot r^2\sin\varphi\mathrm{d}r=3\cdot2\pi\cdot2\cdot\frac{R^5}{5}=\frac{12\pi R^5}{5}$。 **难度**：★★☆☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/2
目标：应用高斯公式将曲面积分转化为三重积分
由高斯公式，\(\oiint_{\Sigma}(x^3\cos\alpha+y^3\cos\beta+z^3\cos\gamma)\mathrm{d}S = \iiint_{\Omega}\left(\frac{\partial x^3}{\partial x}+\frac{\partial y^3}{\partial y}+\frac{\partial z^3}{\partial z}\right)\mathrm{d}v = 3\iiint_{\Omega}(x^2+y^2+z^2)\mathrm{d}v\)，其中\(\Omega: x^2+y^2+z^2 \leq R^2\)。
公式：高斯公式：\(\oiint_{\Sigma}P\mathrm{d}y\mathrm{d}z+Q\mathrm{d}z\mathrm{d}x+R\mathrm{d}x\mathrm{d}y = \iiint_{\Omega}\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)\mathrm{d}v\)
提示：注意外法线方向与高斯公式中方向一致，直接使用高斯公式。
步骤 2/2
目标：利用球坐标计算三重积分
采用球坐标变换：\(x=r\sin\varphi\cos\theta, y=r\sin\varphi\sin\theta, z=r\cos\varphi\)，则\(x^2+y^2+z^2=r^2\)，体积元\(\mathrm{d}v=r^2\sin\varphi\mathrm{d}r\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}\theta\)。积分区域：\(0\leq r\leq R, 0\leq\varphi\leq\pi, 0\leq\theta\leq 2\pi\)。于是\(3\iiint_{\Omega}(x^2+y^2+z^2)\mathrm{d}v = 3\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\int_0^{\pi}\mathrm{d}\varphi\int_0^R r^2 \cdot r^2\sin\varphi\mathrm{d}r = 3\cdot2\pi\cdot2\cdot\frac{R^5}{5} = \frac{12\pi R^5}{5}\)。
公式：球坐标：\(\iiint_{\Omega}f(x,y,z)\mathrm{d}v = \int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\int_0^{\pi}\mathrm{d}\varphi\int_0^R f(r\sin\varphi\cos\theta, r\sin\varphi\sin\theta, r\cos\varphi) r^2\sin\varphi\mathrm{d}r\)
提示：计算时注意积分限和\(\sin\varphi\)因子，\(\int_0^{\pi}\sin\varphi\mathrm{d}\varphi=2\)。

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