kaoyan1basic 高等数学 第651题
📝 题目
## 第651题 (高等数学 - 选择题) 下列曲线积分 （1） $\displaystyle \int_{L} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{x^{2}+y^{2}}$ ． （2） $\displaystyle \int_{L} \frac{x \mathrm{~d} x+y \mathrm{~d} y}{x^{2}+y^{2}}$ ． （3） $\displaystyle \int_{L} \frac{x \mathrm{~d} x+y \mathrm{~d} y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$ ． （4） $\displaystyle \int_{L} \frac{x \mathrm{~d} y+y \mathrm{~d} x}{x^{2}+y^{2}}$ ． 中，在平面 $D: x^{2}+y^{2}>0$ 上与路径无关的有 （A） 1 个． （B） 2 个． （C） 3 个． （D） 4 个．
💡 答案解析
**答案**：B **解析**：步骤1：曲线积分与路径无关等价于$\displaystyle \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$在单连通区域内成立。步骤2：(1)$\displaystyle P=-\frac{y}{x^2+y^2}$，$\displaystyle Q=\frac{x}{x^2+y^2}$，$\displaystyle \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}$，$\displaystyle \frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}$，相等，但在原点不连续，区域非单连通，故与路径无关仅当路径不包围原点，但题目说$D:x^2+y^2>0$，是复连通区域，故(1)与路径无关？实际上，在$D$内，$\displaystyle \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$处处成立，但$D$不是单连通，所以积分与路径无关的条件是：对于任意闭曲线，积分值为0。但(1)绕原点一周积分为$2\pi$，故不是与路径无关。所以(1)不是。步骤3：(2)$\displaystyle P=\frac{x}{x^2+y^2}$，$\displaystyle Q=\frac{y}{x^2+y^2}$，$\displaystyle \frac{\partial P}{\partial y}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}$，$\displaystyle \frac{\partial Q}{\partial x}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}$，相等，且绕原点一周积分为0，故与路径无关。步骤4：(3)$\displaystyle P=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}$，$\displaystyle Q=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}$，$\displaystyle \frac{\partial P}{\partial y}=-\frac{xy}{(x^2+y^2)^{3/2}}$，$\displaystyle \frac{\partial Q}{\partial x}=-\frac{xy}{(x^2+y^2)^{3/2}}$，相等，且绕原点一周积分为0，故与路径无关。步骤5：(4)$\displaystyle P=\frac{y}{x^2+y^2}$，$\displaystyle Q=\frac{x}{x^2+y^2}$，$\displaystyle \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}$，$\displaystyle \frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}$，互为相反数，不相等，故与路径有关。故有2个与路径无关。 **难度**：★★★☆☆