kaoyan1basic 高等数学 第4题
📝 题目
### 【基础篇】第4题（解答题） 4．设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上满足
$$ f(x)=f(x-\pi)+\sin x $$
且 $f(x)=x, x \in[0, \pi)$ ，求 $f(x)$ 在 $[\pi, 3 \pi)$ 上的表达式。
💡 答案解析
**答案**：$f(x)=\begin{cases} x-\pi+\sin x, & \pi\leq x<2\pi \\ x-2\pi, & 2\pi\leq x<3\pi \end{cases}$ **解析**：步骤1：由$f(x)=f(x-\pi)+\sin x$，当$x\in[\pi,2\pi)$时，$x-\pi\in[0,\pi)$，则$f(x-\pi)=x-\pi$，故$f(x)=x-\pi+\sin x$。 步骤2：当$x\in[2\pi,3\pi)$时，$x-\pi\in[\pi,2\pi)$，则$f(x-\pi)=(x-\pi)-\pi+\sin(x-\pi)=x-2\pi-\sin x$，故$f(x)=x-2\pi-\sin x+\sin x=x-2\pi$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：确定区间[π, 2π)上的表达式
当x∈[π, 2π)时，x-π∈[0, π)，由已知f(x)=x在[0,π)上，得f(x-π)=x-π。代入递推式f(x)=f(x-π)+sin x，得f(x)=x-π+sin x。
公式：f(x)=f(x-π)+sin x
提示：注意自变量的取值范围，确保x-π在已知区间内。
步骤 2/2
目标：确定区间[2π, 3π)上的表达式
当x∈[2π, 3π)时，x-π∈[π, 2π)，利用第一步结果f(t)=t-π+sin t（t∈[π,2π)），令t=x-π，得f(x-π)=(x-π)-π+sin(x-π)=x-2π-sin x。代入递推式，得f(x)=x-2π-sin x+sin x=x-2π。
公式：sin(x-π) = -sin x
提示：利用三角恒等式化简sin(x-π)。
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