kaoyan1basic 高等数学 第3题
📝 题目
### 【强化篇】第3题（填空题） 3． $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(x^{\frac{2}{x}}-1\right)^{\frac{2}{\ln x}}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$e^{-2}$ **解析**：步骤1：取对数，$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{2}{\ln x}\ln(x^{\frac{2}{x}}-1)=\lim_{x\to+\infty}\frac{2}{\ln x}\ln(e^{\frac{2\ln x}{x}}-1)$。 步骤2：利用等价无穷小，$\displaystyle e^{\frac{2\ln x}{x}}-1\sim\frac{2\ln x}{x}$，则原极限$\displaystyle =\lim_{x\to+\infty}\frac{2}{\ln x}\cdot\ln\left(\frac{2\ln x}{x}\right)=\lim_{x\to+\infty}\frac{2}{\ln x}\left(\ln2+\ln\ln x-\ln x\right)=-2$。 步骤3：原极限$=e^{-2}$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：将原极限转化为指数形式，便于处理
令 y = (x^(2/x)-1)^(2/ln x)，则 ln y = (2/ln x) * ln(x^(2/x)-1)。原极限转化为求 lim_{x→+∞} ln y。
公式：ln y = (2/ln x) * ln(x^(2/x)-1)
提示：取对数后，极限转化为0·∞型，但可进一步化简。
步骤 2/5
目标：化简 x^(2/x) 为指数形式
x^(2/x) = e^( (2/x) ln x )，所以 x^(2/x)-1 = e^( (2 ln x)/x ) - 1。
公式：x^(2/x) = e^( (2 ln x)/x )
提示：利用指数恒等式 a^b = e^(b ln a)。
步骤 3/5
目标：利用等价无穷小简化
当 x→+∞ 时，(2 ln x)/x → 0，所以 e^( (2 ln x)/x ) - 1 ~ (2 ln x)/x。因此 ln(x^(2/x)-1) ~ ln( (2 ln x)/x )。
公式：e^u - 1 ~ u (u→0)
提示：注意等价无穷小替换需在乘除因子中使用，此处用于对数内部。
步骤 4/5
目标：计算极限
lim_{x→+∞} ln y = lim_{x→+∞} (2/ln x) * ln( (2 ln x)/x ) = lim_{x→+∞} (2/ln x) * ( ln2 + ln(ln x) - ln x ) = 2 * lim_{x→+∞} ( ln2/ln x + ln(ln x)/ln x - 1 ) = 2 * (0 + 0 - 1) = -2。
公式：lim_{x→+∞} (ln(ln x))/ln x = 0
提示：分别计算各项极限，注意 ln x 增长慢于 x，但 ln(ln x) 增长更慢。
步骤 5/5
目标：还原原极限
由 ln y → -2，得 y → e^{-2}。
公式：y = e^{ln y}
提示：指数函数连续，极限可交换。
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