kaoyan1basic 高等数学 第3题
📝 题目
### 【基础篇】第3题（解答题） 3．设函数 $f(x)= \begin{cases}1-2 x^{2}, & x<-1, \\ x^{3}, & -1 \leqslant x \leqslant 2, \text { 写出 } f(x) \text { 的反函数 } g(x) \text { 的表达式．} \\ 12 x-16, & x>2 .\end{cases}$
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle g(x)=\begin{cases} -\sqrt{\frac{1-x}{2}}, & x<-1 \\ \sqrt[3]{x}, & -1\leq x\leq 8 \\ \frac{x+16}{12}, & x>8 \end{cases}$ **解析**：步骤1：分段求反函数。当$x<-1$时，$y=1-2x^2$，解得$\displaystyle x=-\sqrt{\frac{1-y}{2}}$，值域$y<-1$，故$\displaystyle g(x)=-\sqrt{\frac{1-x}{2}}, x<-1$。 步骤2：当$-1\leq x\leq 2$时，$y=x^3$，解得$x=\sqrt[3]{y}$，值域$-1\leq y\leq 8$，故$g(x)=\sqrt[3]{x}, -1\leq x\leq 8$。 步骤3：当$x>2$时，$y=12x-16$，解得$\displaystyle x=\frac{y+16}{12}$，值域$y>8$，故$\displaystyle g(x)=\frac{x+16}{12}, x>8$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：分段求反函数：当 x < -1 时
由 y = 1 - 2x^2，解得 x = -√((1-y)/2)，值域 y < -1，故反函数为 g(x) = -√((1-x)/2)，定义域 x < -1。
公式：x = -√((1-y)/2)
提示：注意 x < -1 时 x 为负，开方取负号。
步骤 2/3
目标：分段求反函数：当 -1 ≤ x ≤ 2 时
由 y = x^3，解得 x = ∛y，值域 -1 ≤ y ≤ 8，故反函数为 g(x) = ∛x，定义域 -1 ≤ x ≤ 8。
公式：x = ∛y
提示：立方根直接开方，注意定义域对应原函数值域。
步骤 3/3
目标：分段求反函数：当 x > 2 时
由 y = 12x - 16，解得 x = (y+16)/12，值域 y > 8，故反函数为 g(x) = (x+16)/12，定义域 x > 8。
公式：x = (y+16)/12
提示：线性函数反函数易求，注意定义域。
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