kaoyan1basic 高等数学 第2题
📝 题目
### 【强化篇】第2题（填空题） 2． $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x} \int_{0}^{x}(1+\sin 2 t)^{\frac{1}{t}} \mathrm{~d} t=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$e^2$ **解析**： 步骤1：$\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{1}{x} \int_0^x (1+\sin 2t)^{\frac{1}{t}} dt$，由积分中值定理或洛必达法则。 步骤2：应用洛必达法则：原式$\displaystyle = \lim_{x\to 0} (1+\sin 2x)^{\frac{1}{x}}$。 步骤3：取对数：$\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{\ln(1+\sin 2x)}{x} = \lim_{x\to 0} \frac{2\cos 2x}{1+\sin 2x} = 2$，故极限$= e^2$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：识别极限形式，选择洛必达法则
观察到极限为0/0型，且分子为积分上限函数，分母为x，应用洛必达法则，将分子求导，分母求导得1。
公式：lim_{x→0} (1/x) ∫_0^x f(t) dt = lim_{x→0} f(x)（若f连续）
提示：注意积分上限函数的导数：d/dx ∫_0^x f(t) dt = f(x)。
步骤 2/5
目标：应用洛必达法则化简
原式 = lim_{x→0} (1+sin2x)^{1/x}。
公式：洛必达法则：lim_{x→0} (∫_0^x f(t) dt)/x = lim_{x→0} f(x)
提示：直接代入x=0得到1^∞型，需进一步处理。
步骤 3/5
目标：处理1^∞型极限，取对数
令 y = (1+sin2x)^{1/x}，则 ln y = (1/x) ln(1+sin2x)。求 lim_{x→0} ln y。
公式：1^∞型极限常用方法：取对数转化为0/0型
提示：注意ln(1+sin2x) ~ sin2x ~ 2x (x→0)。
步骤 4/5
目标：计算对数极限
lim_{x→0} ln(1+sin2x)/x = lim_{x→0} (2cos2x)/(1+sin2x) = 2。
公式：洛必达法则或等价无穷小：ln(1+u)~u，sin2x~2x
提示：也可用等价无穷小直接得极限为2。
步骤 5/5
目标：得出原极限
由 lim ln y = 2，得 lim y = e^2。
公式：若lim ln y = A，则lim y = e^A
提示：注意指数运算的连续性。
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