kaoyan1basic 高等数学 第2题
📝 题目
### 【基础篇】第2题（解答题） 2．设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内有定义，在区间 $[0,2]$ 上，$f(x)=x\left(x^{2}-4\right)$ ，若对任意的 $x$ 都满足 $\displaystyle f(x)=-\frac{1}{2} f(x+2)$ 。写出 $f(x)$ 在 $[-2,0)$ 上的表达式。
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle f(x) = -\frac{1}{2}x(x^2-4)$ **解析**： 步骤1：对任意$x$，$\displaystyle f(x) = -\frac{1}{2}f(x+2)$。 步骤2：当$x \in [-2,0)$时，$x+2 \in [0,2)$，则$f(x+2) = (x+2)[(x+2)^2-4] = (x+2)(x^2+4x)$。 步骤3：$\displaystyle f(x) = -\frac{1}{2}(x+2)(x^2+4x) = -\frac{1}{2}x(x+2)(x+2) = -\frac{1}{2}x(x+2)^2$，化简得$\displaystyle -\frac{1}{2}x(x^2-4)$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：利用已知函数关系式
由题设，对任意x，有f(x) = -1/2 f(x+2)。
公式：f(x) = -1/2 f(x+2)
提示：注意函数关系式对任意x成立，可用于区间变换。
步骤 2/5
目标：确定x+2的范围
当x∈[-2,0)时，x+2∈[0,2)，因此f(x+2)可用已知区间[0,2]上的表达式。
提示：区间变换是解题关键。
步骤 3/5
目标：代入已知表达式
在[0,2]上，f(x)=x(x^2-4)，所以f(x+2)=(x+2)[(x+2)^2-4]=(x+2)(x^2+4x)。
公式：f(x+2) = (x+2)(x^2+4x)
提示：注意展开时不要出错。
步骤 4/5
目标：计算f(x)表达式
由f(x) = -1/2 f(x+2)得f(x) = -1/2 (x+2)(x^2+4x) = -1/2 x(x+2)^2。
公式：f(x) = -1/2 x(x+2)^2
提示：化简时提取公因式。
步骤 5/5
目标：化简最终结果
展开(x+2)^2 = x^2+4x+4，则f(x) = -1/2 x(x^2+4x+4) = -1/2 x^3 -2x^2 -2x，但题目答案给出f(x) = -1/2 x(x^2-4)，注意检查：实际上-1/2 x(x+2)^2 = -1/2 x(x^2+4x+4) = -1/2 x^3 -2x^2 -2x，而-1/2 x(x^2-4) = -1/2 x^3 +2x，两者不等，因此答案可能有误。正确化简应为f(x) = -1/2 x(x+2)^2。
公式：f(x) = -1/2 x(x+2)^2
提示：验证答案时注意符号和展开。
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