kaoyan1basic 高等数学 第1题
📝 题目
### 【强化篇】第1题（填空题） 1． $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{\arcsin x}{x}\right)^{\frac{1}{\sin ^{2} x}}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle e^{\frac{1}{6}}$ **解析**： 步骤1：$\displaystyle \lim_{x\to 0} \left(\frac{\arcsin x}{x}\right)^{\frac{1}{\sin^2 x}}$，取对数：$\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{\ln(\arcsin x/x)}{\sin^2 x}$。 步骤2：$\displaystyle \arcsin x = x + \frac{x^3}{6} + o(x^3)$，故$\displaystyle \frac{\arcsin x}{x} = 1 + \frac{x^2}{6} + o(x^2)$，$\displaystyle \ln(1+\frac{x^2}{6}) \sim \frac{x^2}{6}$。 步骤3：$\sin^2 x \sim x^2$，极限为$\displaystyle \frac{1}{6}$，原极限$= e^{1/6}$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：将原极限转化为指数形式，便于利用等价无穷小
原极限为1^∞型，取对数后求极限：令 L = lim_{x→0} (arcsin x / x)^{1/sin^2 x}，则 ln L = lim_{x→0} [ln(arcsin x / x)] / sin^2 x。
公式：ln L = lim_{x→0} (ln(arcsin x / x)) / sin^2 x
提示：1^∞型极限常用取对数法，注意等价无穷小替换的条件。
步骤 2/4
目标：利用泰勒展开或等价无穷小化简分子
当x→0时，arcsin x = x + x^3/6 + o(x^3)，所以 arcsin x / x = 1 + x^2/6 + o(x^2)。于是 ln(arcsin x / x) = ln(1 + x^2/6 + o(x^2)) ~ x^2/6。
公式：arcsin x = x + x^3/6 + o(x^3); ln(1+u) ~ u (u→0)
提示：注意展开到足够阶数，分子分母阶数匹配。
步骤 3/4
目标：化简分母并计算极限
当x→0时，sin^2 x ~ x^2。因此 ln L = lim_{x→0} (x^2/6) / x^2 = 1/6。
公式：sin x ~ x (x→0)
提示：等价无穷小替换时注意分母是sin^2 x，直接替换为x^2。
步骤 4/4
目标：还原指数形式得到最终结果
由 ln L = 1/6，得 L = e^{1/6}。
公式：L = e^{ln L}
提示：最后不要忘记还原指数。
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