kaoyan1basic 高等数学 第1题
📝 题目
### 【基础篇】第1题（选择题） 1．函数 $f(x)=x^{2} \tan x \mathrm{e}^{\cos x}$ 是（ ）． （A）有界函数 （B）单调函数 （C）周期函数 （D）奇函数
💡 答案解析
**答案**：D **解析**： 步骤1：$f(x)=x^2 \tan x e^{\cos x}$，定义域为$\displaystyle x \neq \frac{\pi}{2}+k\pi$，非周期、非单调、无界。 步骤2：奇偶性：$x^2$偶，$\tan x$奇，$e^{\cos x}$偶，乘积为奇函数。 **难度**：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：判断函数是否有界、单调、周期、奇偶性
首先分析定义域：$x \neq \frac{\pi}{2}+k\pi$，因此函数不是周期函数（周期函数定义域需为全体实数或周期延拓）。其次，当$x\to\infty$时，$x^2$和$\tan x$均无界，故函数无界。$\tan x$在定义域内不单调，故函数不单调。
提示：注意定义域对周期性的影响，以及无穷大时函数增长趋势。
步骤 2/2
目标：判断奇偶性
计算$f(-x)=(-x)^2 \tan(-x) e^{\cos(-x)} = x^2 (-\tan x) e^{\cos x} = -x^2 \tan x e^{\cos x} = -f(x)$，因此$f(x)$是奇函数。
公式：$\tan(-x)=-\tan x$，$\cos(-x)=\cos x$
提示：奇函数乘偶函数得奇函数，偶函数乘偶函数得偶函数。
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