kaoyan1basic 高等数学 第52题
📝 题目
### 第52题 I=$\displaystyle \int \sqrt{\frac{3-2 x}{3+2 x}} \mathrm{~d} x=$
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{3}{2}\arcsin\frac{2x}{3} - \frac{1}{2}\sqrt{9-4x^2} + C$ **解析**： 步骤1：令$\displaystyle t = \sqrt{\frac{3-2x}{3+2x}}$，则$\displaystyle x = \frac{3(1-t^2)}{2(1+t^2)}$，$\displaystyle dx = -\frac{6t}{(1+t^2)^2} dt$。 步骤2：原积分$\displaystyle = \int t \cdot \left(-\frac{6t}{(1+t^2)^2}\right) dt = -6 \int \frac{t^2}{(1+t^2)^2} dt$。 步骤3：利用分部积分或三角换元，得$\displaystyle -6\left( \frac{1}{2}\arctan t - \frac{t}{2(1+t^2)} \right) + C = -3\arctan t + \frac{3t}{1+t^2} + C$。 步骤4：回代$\displaystyle t = \sqrt{\frac{3-2x}{3+2x}}$，化简得$\displaystyle \frac{3}{2}\arcsin\frac{2x}{3} - \frac{1}{2}\sqrt{9-4x^2} + C$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：换元简化被积函数
令 t = sqrt((3-2x)/(3+2x))，则 x = 3(1-t^2)/(2(1+t^2))，dx = -6t/(1+t^2)^2 dt。
公式：t = sqrt((3-2x)/(3+2x))，x = 3(1-t^2)/(2(1+t^2))，dx = -6t/(1+t^2)^2 dt
提示：注意根式换元时，要正确解出x和dx。
步骤 2/4
目标：将原积分转化为关于t的积分
原积分 I = ∫ t * (-6t/(1+t^2)^2) dt = -6 ∫ t^2/(1+t^2)^2 dt。
公式：I = -6 ∫ t^2/(1+t^2)^2 dt
提示：化简被积函数，注意符号。
步骤 3/4
目标：计算关于t的积分
利用分部积分或三角换元：∫ t^2/(1+t^2)^2 dt = 1/2 arctan t - t/(2(1+t^2)) + C。所以 I = -6 * (1/2 arctan t - t/(2(1+t^2))) + C = -3 arctan t + 3t/(1+t^2) + C。
公式：∫ t^2/(1+t^2)^2 dt = 1/2 arctan t - t/(2(1+t^2)) + C
提示：可令 t = tanθ 进行三角换元，或使用分部积分。
步骤 4/4
目标：回代t并化简
将 t = sqrt((3-2x)/(3+2x)) 代入，得 I = -3 arctan sqrt((3-2x)/(3+2x)) + 3 sqrt((3-2x)/(3+2x)) / (1 + (3-2x)/(3+2x)) + C。化简得 I = 3/2 arcsin(2x/3) - 1/2 sqrt(9-4x^2) + C。
公式：回代化简
提示：注意利用恒等式：arctan sqrt((3-2x)/(3+2x)) = 1/2 arcsin(2x/3) 等。
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