kaoyan1basic 高等数学 第1题
📝 题目
### 第1题 设函数 $f(x)$ 为定义在 $(-\infty,+\infty)$ 的奇函数，且 $\forall x \in(-\infty,+\infty), f(x+2)- f(x)=f(2)$ ，若 $f(x)$ 是以 2 为周期的周期函数，则 $f(1)=$
💡 答案解析
**答案**：0 **解析**： 步骤1：$f(x)$是奇函数，故$f(0)=0$，且$f(x+2)-f(x)=f(2)$。 步骤2：令$x=0$，得$f(2)-f(0)=f(2)$，即$f(2)=f(2)$，恒成立。 步骤3：$f(x)$以2为周期，则$f(x+2)=f(x)$，代入条件得$f(x)-f(x)=f(2)$，故$f(2)=0$。 步骤4：由周期性和奇函数，$f(1)=f(-1+2)=f(-1)=-f(1)$，得$2f(1)=0$，故$f(1)=0$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：利用奇函数性质得到f(0)=0
因为f(x)是奇函数，所以f(0)=0。
公式：f(0)=0
提示：奇函数在0点有定义时，f(0)=0。
步骤 2/4
目标：利用周期函数性质得到f(x+2)=f(x)
因为f(x)以2为周期，所以对任意x，有f(x+2)=f(x)。
公式：f(x+2)=f(x)
提示：周期函数的定义。
步骤 3/4
目标：将周期条件代入已知等式
将f(x+2)=f(x)代入f(x+2)-f(x)=f(2)，得f(x)-f(x)=f(2)，即0=f(2)，所以f(2)=0。
公式：f(2)=0
提示：代入后等式两边相消。
步骤 4/4
目标：利用周期性和奇函数求f(1)
由周期性，f(1)=f(-1+2)=f(-1)；由奇函数，f(-1)=-f(1)。所以f(1)=-f(1)，即2f(1)=0，故f(1)=0。
公式：f(1)=-f(1) ⇒ f(1)=0
提示：注意-1+2=1，利用周期将f(1)与f(-1)联系。
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