kaoyan1basic 高等数学 第660题
📝 题目
## 第660题 (高等数学 - 选择题) 函数 $f(x, y, z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}$ 在点 $(1,-1,1)$ 处沿曲线 $x=t, y=-t^{2}, z=t^{3}$ 在该点指向 $x$ 轴负向一侧的切线方向的方向导数等于 （A）-12 ． （B） 12 ． （C）$\displaystyle -\frac{12}{\sqrt{14}}$ ． （D）$\displaystyle \frac{12}{\sqrt{14}}$ ． □
💡 答案解析
**答案**：C **解析**： 步骤1：曲线$x=t, y=-t^2, z=t^3$，在点$(1,-1,1)$对应$t=1$，切向量$(1, -2t, 3t^2)|_{t=1} = (1, -2, 3)$。 步骤2：指向$x$轴负向一侧，即切向量方向与$x$轴负向同侧，取方向向量$\boldsymbol{l} = (-1, 2, -3)$（反向）。 步骤3：梯度$\nabla f = (2x, 2y, 2z)$，在点$(1,-1,1)$处为$(2, -2, 2)$。 步骤4：方向导数$\displaystyle = \nabla f \cdot \frac{\boldsymbol{l}}{|\boldsymbol{l}|} = (2,-2,2) \cdot \frac{(-1,2,-3)}{\sqrt{1+4+9}} = \frac{-2 -4 -6}{\sqrt{14}} = -\frac{12}{\sqrt{14}}$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：确定曲线上对应点的参数值
曲线参数方程为 x=t, y=-t^2, z=t^3，点 (1,-1,1) 对应 t=1。
提示：代入坐标解 t 即可。
步骤 2/5
目标：求曲线在该点的切向量
对参数方程求导得 (1, -2t, 3t^2)，代入 t=1 得切向量 (1, -2, 3)。
公式：切向量 = (dx/dt, dy/dt, dz/dt)
提示：注意求导正确。
步骤 3/5
目标：确定方向向量
指向 x 轴负向一侧，即与 x 轴负方向同侧，取切向量的反向向量 (-1, 2, -3)。
提示：方向向量需单位化。
步骤 4/5
目标：计算梯度
函数 f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2，梯度 ∇f=(2x, 2y, 2z)，在点 (1,-1,1) 处为 (2, -2, 2)。
公式：∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y, ∂f/∂z)
提示：梯度是向量。
步骤 5/5
目标：计算方向导数
方向导数为梯度与单位方向向量的点积。单位方向向量 l0 = (-1,2,-3)/√(1+4+9) = (-1,2,-3)/√14。点积得 (2,-2,2)·(-1,2,-3)/√14 = (-2-4-6)/√14 = -12/√14。
公式：方向导数 = ∇f·l0
提示：注意符号和单位化。
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