kaoyan1basic 高等数学 第659题
📝 题目
## 第659题 (高等数学 - 选择题) 曲线 $\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}+z^{2}=2 \\ x+y+z=0\end{array}\right.$ 在点 $(1,-1,0)$ 处的切线方程为 （A）$\displaystyle \frac{x-1}{2}=y+1=z$ ． （B）$\displaystyle \frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{3}$ ． （C）$\displaystyle \frac{x-1}{-1}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z}{1}$ ． （D）$\displaystyle x-1=y+1=-\frac{z}{2}$ ．
💡 答案解析
**答案**：A **解析**： 步骤1：曲线由两曲面交线给出，切向量方向垂直于两曲面法向量。球面法向量$(2x,2y,2z)$，平面法向量$(1,1,1)$。 步骤2：在点$(1,-1,0)$处，球面法向量为$(2,-2,0)$，平面法向量为$(1,1,1)$，切向量为两者叉乘： $\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & -2 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = (-2, -2, 4)$，化简为$(1,1,-2)$方向，但选项需匹配。 步骤3：切线方程$\displaystyle \frac{x-1}{1} = \frac{y+1}{1} = \frac{z-0}{-2}$，即$\displaystyle \frac{x-1}{1} = y+1 = -\frac{z}{2}$，等价于$\displaystyle \frac{x-1}{2} = y+1 = z$（乘以2调整）。 **难度**：★★★☆☆