kaoyan1basic 高等数学 第658题
📝 题目
## 第658题 (高等数学 - 选择题) 过点 $(1,0,0),(0,1,0)$ ，且与曲面 $z=x^{2}+y^{2}$ 相切的平面为 （A）$z=0$ 与 $x+y-z=1$ ． （B）$z=0$ 与 $2 x+2 y-z=2$ ． （C）$x=y$ 与 $x+y-z=1$ ． （D）$x=y$ 与 $2 x+2 y-z=2$ ． 答题 区
💡 答案解析
**答案**：B **解析**： 步骤1：设切点为$(x_0, y_0, z_0)$，曲面$z = x^2+y^2$在切点处的法向量为$(2x_0, 2y_0, -1)$。 步骤2：切平面过点$(1,0,0)$和$(0,1,0)$，故法向量与两点连线向量$(1,-1,0)$垂直，即$(2x_0, 2y_0, -1) \cdot (1,-1,0) = 2x_0 - 2y_0 = 0$，得$x_0 = y_0$。 步骤3：切平面方程：$2x_0(x-x_0) + 2y_0(y-y_0) - (z-z_0) = 0$，代入$(1,0,0)$和$(0,1,0)$，结合$z_0 = x_0^2+y_0^2 = 2x_0^2$，解得$x_0=0$或$x_0=1$。 步骤4：$x_0=0$时切平面$z=0$；$x_0=1$时切平面$2x+2y-z=2$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：设切点并求法向量
设切点为 $(x_0, y_0, z_0)$，曲面 $z = x^2 + y^2$ 在切点处的法向量为 $(2x_0, 2y_0, -1)$。
公式：曲面 $z = f(x,y)$ 的法向量为 $(f_x, f_y, -1)$
提示：注意法向量的方向，通常取指向外侧或向上。
步骤 2/4
目标：利用切平面过两点建立条件
切平面过点 $(1,0,0)$ 和 $(0,1,0)$，故法向量与两点连线向量 $(1,-1,0)$ 垂直，即 $(2x_0, 2y_0, -1) \cdot (1,-1,0) = 2x_0 - 2y_0 = 0$，得 $x_0 = y_0$。
公式：向量垂直的点积为零
提示：两点连线向量为终点减起点。
步骤 3/4
目标：写出切平面方程并代入点坐标
切平面方程：$2x_0(x-x_0) + 2y_0(y-y_0) - (z-z_0) = 0$，代入 $(1,0,0)$ 和 $(0,1,0)$，结合 $z_0 = x_0^2 + y_0^2 = 2x_0^2$，得到两个方程：
$2x_0(1-x_0) + 2y_0(0-y_0) - (0-z_0) = 0$ 和 $2x_0(0-x_0) + 2y_0(1-y_0) - (0-z_0) = 0$。
化简得 $2x_0 - 2x_0^2 - 2y_0^2 + z_0 = 0$ 和 $-2x_0^2 + 2y_0 - 2y_0^2 + z_0 = 0$。
利用 $x_0 = y_0$ 和 $z_0 = 2x_0^2$，两式均化为 $2x_0 - 2x_0^2 = 0$，解得 $x_0 = 0$ 或 $x_0 = 1$。
公式：切平面方程：$F_x(x_0,y_0,z_0)(x-x_0)+F_y(x_0,y_0,z_0)(y-y_0)+F_z(x_0,y_0,z_0)(z-z_0)=0$
提示：代入点坐标时注意符号，化简要仔细。
步骤 4/4
目标：求出切平面方程
当 $x_0 = 0$ 时，$y_0 = 0$，$z_0 = 0$，法向量为 $(0,0,-1)$，切平面方程为 $z = 0$。
当 $x_0 = 1$ 时，$y_0 = 1$，$z_0 = 2$，法向量为 $(2,2,-1)$，切平面方程为 $2(x-1)+2(y-1)-(z-2)=0$，即 $2x+2y-z=2$。
公式：点法式平面方程
提示：注意化简最终方程。
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