kaoyan1basic 高等数学 第70题

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📝 题目

### 第70题 摆线 $x=a(t-\sin t), y=a(1-\cos t)(0 \leqslant t \leqslant 2 \pi)$ 与 $x$ 轴围成图形绕 $y=2 a$ 旋转一周而得旋转体的体积 $V=$ $\_\_\_\_$ ． □

💡 答案解析

**答案**：$7\pi^2 a^3$ **解析**： 步骤1：摆线一拱$0\le t\le 2\pi$，$x$范围$0\le x\le 2\pi a$，$y$范围$0\le y\le 2a$。 步骤2：绕$y=2a$旋转，用圆盘法，体积元素$dV=\pi[(2a-y)^2]dx$。 步骤3：$dx=a(1-\cos t)dt$，$y=a(1-\cos t)$，则$2a-y=a(1+\cos t)$。 步骤4：$V=\int_0^{2\pi}\pi a^2(1+\cos t)^2 \cdot a(1-\cos t)dt = \pi a^3\int_0^{2\pi}(1+\cos t)^2(1-\cos t)dt$。 步骤5：化简$(1+\cos t)^2(1-\cos t)=(1+\cos t)(1-\cos^2 t)=(1+\cos t)\sin^2 t$。 步骤6：$V=\pi a^3\int_0^{2\pi}(1+\cos t)\sin^2 t dt = \pi a^3\left(\int_0^{2\pi}\sin^2 t dt + \int_0^{2\pi}\cos t\sin^2 t dt\right)$。 步骤7：$\int_0^{2\pi}\sin^2 t dt = \pi$，$\int_0^{2\pi}\cos t\sin^2 t dt = 0$（奇函数周期积分），故$V=\pi a^3\cdot \pi = \pi^2 a^3$。 **难度**：★★★☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/6
目标：确定积分变量和范围
摆线一拱对应 t∈[0,2π]，x 范围 0≤x≤2πa，y 范围 0≤y≤2a。旋转轴为 y=2a，使用圆盘法，体积元素 dV = π[(2a - y)^2] dx。
公式：dV = π(2a - y)^2 dx
提示：注意旋转轴不是 x 轴，而是 y=2a，因此半径是 2a - y。
步骤 2/6
目标：参数化替换
由 x = a(t - sin t)，得 dx = a(1 - cos t) dt。y = a(1 - cos t)，则 2a - y = a(1 + cos t)。
公式：dx = a(1 - cos t) dt, 2a - y = a(1 + cos t)
提示：将 dx 和 y 用 t 表示，便于积分。
步骤 3/6
目标：建立积分表达式
V = ∫_{0}^{2π} π [a(1 + cos t)]^2 · a(1 - cos t) dt = π a^3 ∫_{0}^{2π} (1 + cos t)^2 (1 - cos t) dt。
公式：V = π a^3 ∫_{0}^{2π} (1 + cos t)^2 (1 - cos t) dt
提示：注意积分限对应 t 从 0 到 2π。
步骤 4/6
目标：化简被积函数
(1 + cos t)^2 (1 - cos t) = (1 + cos t)(1 - cos^2 t) = (1 + cos t) sin^2 t。
公式：(1 + cos t)^2 (1 - cos t) = (1 + cos t) sin^2 t
提示：利用平方差公式简化。
步骤 5/6
目标：拆分积分并计算
V = π a^3 ∫_{0}^{2π} (1 + cos t) sin^2 t dt = π a^3 (∫_{0}^{2π} sin^2 t dt + ∫_{0}^{2π} cos t sin^2 t dt)。其中 ∫_{0}^{2π} sin^2 t dt = π，∫_{0}^{2π} cos t sin^2 t dt = 0（因为被积函数是奇函数在周期内积分为零）。
公式：∫_{0}^{2π} sin^2 t dt = π, ∫_{0}^{2π} cos t sin^2 t dt = 0
提示：sin^2 t 的周期积分用倍角公式或对称性；cos t sin^2 t 是奇函数，周期内积分为零。
步骤 6/6
目标：得出最终体积
V = π a^3 · π = π^2 a^3。
公式：V = π^2 a^3
提示：注意答案与解析中给出的 7π^2 a^3 不符，但根据计算应为 π^2 a^3。

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