kaoyan1basic 高等数学 第71题

**答案**：$\displaystyle A=\frac{3}{8}\pi a^2$，$L=6a$，$\displaystyle V=\frac{4}{5}\pi a^3$，$\displaystyle S=\frac{12}{5}\pi a^2$ **解析**： 步骤1：面积$A=4\int_0^a y dx$，参数化$x=a\cos^3 t$，$y=a\sin^3 t$，$t$从$\displaystyle \frac{\pi}{2}$到$0$，$dx=-3a\cos^2 t\sin t dt$，$A=4\int_{\pi/2}^0 a\sin^3 t\cdot (-3a\cos^2 t\sin t)dt = 12a^2\int_0^{\pi/2}\sin^4 t\cos^2 t dt$。 步骤2：利用Beta函数，$\displaystyle \int_0^{\pi/2}\sin^4 t\cos^2 t dt = \frac{1}{2}B\left(\frac{5}{2},\frac{3}{2}\right)=\frac{1}{2}\cdot\frac{\Gamma(5/2)\Gamma(3/2)}{\Gamma(4)}=\frac{1}{2}\cdot\frac{(3/2\cdot1/2\sqrt{\pi})(1/2\sqrt{\pi})}{6}=\frac{3\pi}{32}$，故$\displaystyle A=12a^2\cdot\frac{3\pi}{32}=\frac{9}{8}\pi a^2$。 步骤3：弧长$L=4\int_0^{\pi/2}\sqrt{(dx/dt)^2+(dy/dt)^2}dt$，$dx/dt=-3a\cos^2 t\sin t$，$dy/dt=3a\sin^2 t\cos t$，平方和$=9a^2\cos^2 t\sin^2 t$，开方$=3a|\cos t\sin t|$，在$[0,\pi/2]$上为$3a\cos t\sin t$。 步骤4：$\displaystyle L=4\int_0^{\pi/2}3a\cos t\sin t dt = 12a\cdot\frac{1}{2}=6a$。 步骤5：体积$V=2\int_0^a \pi y^2 dx$，参数化$y^2=a^2\sin^6 t$，$dx=-3a\cos^2 t\sin t dt$，$V=2\int_{\pi/2}^0 \pi a^2\sin^6 t\cdot (-3a\cos^2 t\sin t)dt = 6\pi a^3\int_0^{\pi/2}\sin^7 t\cos^2 t dt$。 步骤6：$\displaystyle \int_0^{\pi/2}\sin^7 t\cos^2 t dt = \frac{1}{2}B(4,\frac{3}{2})=\frac{1}{2}\cdot\frac{\Gamma(4)\Gamma(3/2)}{\Gamma(11/2)}=\frac{1}{2}\cdot\frac{6\cdot\frac{\sqrt{\pi}}{2}}{\frac{9\cdot7\cdot5\cdot3\cdot1}{2^5}\sqrt{\pi}}=\frac{16}{315}$，故$\displaystyle V=6\pi a^3\cdot\frac{16}{315}=\frac{32}{105}\pi a^3$。 步骤7：侧面积$S=2\int_0^a 2\pi y\sqrt{1+(y')^2}dx$，参数化$y=a\sin^3 t$，弧微分$ds=3a\cos t\sin t dt$，$\displaystyle S=2\int_{\pi/2}^0 2\pi a\sin^3 t\cdot 3a\cos t\sin t dt = 12\pi a^2\int_0^{\pi/2}\sin^4 t\cos t dt = 12\pi a^2\cdot\frac{1}{5}=\frac{12}{5}\pi a^2$。 **难度**：★★★★☆