kaoyan1basic 高等数学 第72题

**答案**：$\displaystyle \frac{\pi}{6}(5\sqrt{5}-1)$ **解析**： 步骤1：曲线$y=\sqrt{x-1}$，过原点切线：设切点为$(x_0,\sqrt{x_0-1})$，$\displaystyle y'=\frac{1}{2\sqrt{x-1}}$，切线斜率$\displaystyle k=\frac{1}{2\sqrt{x_0-1}}$，切线方程$\displaystyle y=\frac{x}{2\sqrt{x_0-1}}$。 步骤2：切线过原点，代入得$\displaystyle 0=\frac{x_0}{2\sqrt{x_0-1}}-\sqrt{x_0-1}$，解得$x_0=2$，切点$(2,1)$，切线$\displaystyle y=\frac{x}{2}$。 步骤3：旋转体表面积由两部分组成：曲线段$y=\sqrt{x-1}$在$[1,2]$绕$x$轴旋转的侧面积，减去切线$y=x/2$在$[0,2]$绕$x$轴旋转的侧面积（但只取$[0,2]$段）。 步骤4：曲线侧面积$S_1=2\pi\int_1^2 y\sqrt{1+(y')^2}dx$，$\displaystyle y'=\frac{1}{2\sqrt{x-1}}$，$\displaystyle 1+(y')^2=1+\frac{1}{4(x-1)}=\frac{4x-3}{4(x-1)}$，$\displaystyle \sqrt{1+(y')^2}=\frac{\sqrt{4x-3}}{2\sqrt{x-1}}$，$\displaystyle y\sqrt{1+(y')^2}=\sqrt{x-1}\cdot\frac{\sqrt{4x-3}}{2\sqrt{x-1}}=\frac{\sqrt{4x-3}}{2}$。 步骤5：$\displaystyle S_1=2\pi\int_1^2\frac{\sqrt{4x-3}}{2}dx=\pi\int_1^2\sqrt{4x-3}dx=\pi\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{4}(4x-3)^{3/2}\big|_1^2=\frac{\pi}{6}(5\sqrt{5}-1)$。 步骤6：切线侧面积$\displaystyle S_2=2\pi\int_0^2 \frac{x}{2}\sqrt{1+(1/2)^2}dx = 2\pi\cdot\frac{\sqrt{5}}{2}\int_0^2\frac{x}{2}dx = \pi\sqrt{5}\cdot\frac{1}{2}\cdot4=2\pi\sqrt{5}$。 步骤7：所求表面积$S=S_1-S_2$？注意：曲线和切线及x轴围成的图形旋转，其表面由曲线旋转面和切线旋转面组成，但切线旋转面在$x\in[0,2]$，曲线旋转面在$x\in[1,2]$，两者在$x\in[1,2]$重叠，实际表面积应为曲线旋转面加上切线在$[0,1]$段的旋转面（因为$x\in[0,1]$只有切线）。 步骤7（修正）：图形由$x$轴、切线$y=x/2$（$0\le x\le2$）和曲线$y=\sqrt{x-1}$（$1\le x\le2$）围成，绕$x$轴旋转，表面积包括：切线在$[0,1]$段的侧面积，曲线在$[1,2]$段的侧面积。 步骤8：切线在$[0,1]$段侧面积$\displaystyle S_2'=2\pi\int_0^1\frac{x}{2}\cdot\frac{\sqrt{5}}{2}dx = \frac{\pi\sqrt{5}}{2}\int_0^1 x dx = \frac{\pi\sqrt{5}}{4}$。 步骤9：总表面积$\displaystyle S=S_1+S_2'=\frac{\pi}{6}(5\sqrt{5}-1)+\frac{\pi\sqrt{5}}{4}=\frac{\pi}{12}(10\sqrt{5}-2+3\sqrt{5})=\frac{\pi}{12}(13\sqrt{5}-2)$。 **难度**：★★★★☆