kaoyan1basic 高等数学 第73题
📝 题目
### 第73题 已知抛物叶形线的一部分： $$ y^{2}=\frac{x}{9}(3-x)^{2}(0 \leqslant x \leqslant 3) $$ 如图所示，它围成的图形为 $M$ ，则 $M$ 的面积 $A=$ $\_\_\_\_$ ，$M$ 的质心 （形心）$(\bar{x}, \bar{y})=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle A=\frac{4}{3}$，$\displaystyle (\bar{x},\bar{y})=\left(\frac{3}{2},0\right)$ **解析**： 步骤1：曲线关于$x$轴对称，$\displaystyle y^2=\frac{x}{9}(3-x)^2$，$\displaystyle y=\pm\frac{3-x}{3}\sqrt{x}$，$0\le x\le3$。 步骤2：面积$\displaystyle A=2\int_0^3 \frac{3-x}{3}\sqrt{x}dx = \frac{2}{3}\int_0^3 (3\sqrt{x}-x^{3/2})dx = \frac{2}{3}\left[2x^{3/2}-\frac{2}{5}x^{5/2}\right]_0^3 = \frac{2}{3}\left(2\cdot3\sqrt{3}-\frac{2}{5}\cdot9\sqrt{3}\right)=\frac{2}{3}\cdot\frac{12}{5}\sqrt{3}=\frac{8}{5}\sqrt{3}$。 步骤3：由对称性，$\bar{y}=0$。 步骤4：$\displaystyle \bar{x}=\frac{1}{A}\int_0^3 x\cdot 2y dx = \frac{2}{A}\int_0^3 x\cdot\frac{3-x}{3}\sqrt{x}dx = \frac{2}{3A}\int_0^3 (3x^{3/2}-x^{5/2})dx = \frac{2}{3A}\left[\frac{6}{5}x^{5/2}-\frac{2}{7}x^{7/2}\right]_0^3 = \frac{2}{3A}\left(\frac{6}{5}\cdot9\sqrt{3}-\frac{2}{7}\cdot27\sqrt{3}\right)=\frac{2}{3A}\cdot\frac{108}{35}\sqrt{3}=\frac{72\sqrt{3}}{35A}$。 步骤5：代入$\displaystyle A=\frac{8}{5}\sqrt{3}$，得$\displaystyle \bar{x}=\frac{72\sqrt{3}}{35\cdot\frac{8}{5}\sqrt{3}}=\frac{72}{35}\cdot\frac{5}{8}=\frac{9}{7}$。 **难度**：★★★☆☆