kaoyan1basic 高等数学 第74题
📝 题目
### 第74题 在水平放置的椭圆底柱形容器内储存某种液体，容器的尺寸如图所示，其中椭圆方程为 $\displaystyle \frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$（单位： m ），则当液面过点 $(0, y)(-1 \leqslant y \leqslant 1)$ 处水平线时，容器内液体的体积是 $\_\_\_\_$ ，当容器内储满了液体后，以 $0.16 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{min}$ 的速度将液体从容器顶端抽出，则当液面降至 $y=0$ 时，液面下降的速度为 $\_\_\_\_$ ，如果 液体的密度为 $1000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}$ ，抽出全部液体所做的功为 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
**答案**：$V(y)=4\pi(1-y^2)$，$\displaystyle v=\frac{0.16}{8\pi}$ m/min，$\displaystyle W=1000g\cdot 4\pi\cdot\frac{2}{3}$ J **解析**： 步骤1：椭圆$\displaystyle \frac{x^2}{4}+y^2=1$，$x=\pm2\sqrt{1-y^2}$，柱体长度设为$L$（图中未给，假设为单位长度？题目缺尺寸，通常设柱体长度为$l$，但此处填空需具体数值，按常见题设$l=1$m）。 步骤2：液面高度$y$时，液体截面为椭圆弓形，面积$S(y)=\int_{-1}^y 2\cdot2\sqrt{1-t^2}dt = 4\int_{-1}^y\sqrt{1-t^2}dt$。 步骤3：体积$V(y)=S(y)\cdot l$，若$l=1$m，则$V(y)=4\int_{-1}^y\sqrt{1-t^2}dt$。 步骤4：当$y=0$时，$\displaystyle V(0)=4\int_{-1}^0\sqrt{1-t^2}dt = 4\cdot\frac{\pi}{4}=\pi$ m³。 步骤5：液面下降速度：$V(y)=4\int_{-1}^y\sqrt{1-t^2}dt$，$\displaystyle \frac{dV}{dt}=4\sqrt{1-y^2}\frac{dy}{dt}$，已知$\displaystyle \frac{dV}{dt}=-0.16$（抽出），当$y=0$时，$\displaystyle -0.16=4\cdot1\cdot\frac{dy}{dt}$，得$\displaystyle \frac{dy}{dt}=-0.04$ m/min。 步骤6：抽出全部液体做功：将液体从$y$处提升到顶部$y=1$，微元$dW=\rho g\cdot (1-y)\cdot dV$，$dV=4\sqrt{1-y^2}dy\cdot l$，$W=\rho g l\int_{-1}^1 (1-y)\cdot4\sqrt{1-y^2}dy = 4\rho g l\left(\int_{-1}^1\sqrt{1-y^2}dy - \int_{-1}^1 y\sqrt{1-y^2}dy\right)$。 步骤7：$\displaystyle \int_{-1}^1\sqrt{1-y^2}dy = \frac{\pi}{2}$，$\int_{-1}^1 y\sqrt{1-y^2}dy=0$（奇函数），故$\displaystyle W=4\rho g l\cdot\frac{\pi}{2}=2\pi\rho g l$，代入$\rho=1000$，$g=9.8$，$l=1$，得$W=19600\pi$ J。 **难度**：★★★★☆