kaoyan1basic 高等数学 第75题
📝 题目
### 第75题 设无穷长直线 $L$ 的线密度为 1 ，引力常数为 $k$ ，则 $L$ 对距直线为 $a$ 的单位质点 $A$ 的引力为 $\_\_\_\_$。 □
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{2k}{a}$ **解析**： 步骤1：建立坐标系，直线$L$为$x$轴，质点$A$位于$(0,a)$，线密度为1。 步骤2：在$L$上取微元$dx$，质量$dm=dx$，距$A$距离$r=\sqrt{x^2+a^2}$，引力大小$\displaystyle dF=\frac{k\cdot1\cdot dm}{r^2}=\frac{k dx}{x^2+a^2}$。 步骤3：引力方向指向微元，水平分量抵消，竖直分量$\displaystyle dF_y = dF\cdot\frac{a}{r}=\frac{k a dx}{(x^2+a^2)^{3/2}}$。 步骤4：总引力$\displaystyle F=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{k a dx}{(x^2+a^2)^{3/2}} = 2ka\int_0^{+\infty}\frac{dx}{(x^2+a^2)^{3/2}}$。 步骤5：令$x=a\tan\theta$，$dx=a\sec^2\theta d\theta$，$(x^2+a^2)^{3/2}=a^3\sec^3\theta$，积分$\displaystyle =2ka\int_0^{\pi/2}\frac{a\sec^2\theta}{a^3\sec^3\theta}d\theta = \frac{2k}{a}\int_0^{\pi/2}\cos\theta d\theta = \frac{2k}{a}$。 **难度**：★★☆☆☆