kaoyan1basic 高等数学 第76题
📝 题目
### 第76题 设 $y=y(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 可导，在 $\forall x \in(0,+\infty)$ 处的增量 $\Delta y=y(x+\Delta x)-y(x)$ 满足 $\displaystyle \Delta y(1+\Delta y)=\frac{y \Delta x}{1+x}+\alpha$ ，其中 $\alpha$ 当 $\Delta x \rightarrow 0$ 时是与 $\Delta x$ 等价的无穷小，又 $y(0)=1$ ．则 $y(x)=$ $\_\_\_\_$。 □
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle y(x)=\frac{1+x}{1-x}$ **解析**： 步骤1：由增量关系，$\displaystyle \Delta y(1+\Delta y)=\frac{y\Delta x}{1+x}+\alpha$，其中$\alpha\sim\Delta x$（$\Delta x\to0$）。 步骤2：两边除以$\Delta x$，得$\displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x}(1+\Delta y)=\frac{y}{1+x}+\frac{\alpha}{\Delta x}$，令$\Delta x\to0$，$\Delta y\to0$，$\displaystyle \frac{\alpha}{\Delta x}\to1$，得$\displaystyle y'(1+0)=\frac{y}{1+x}+1$，即$\displaystyle y'=\frac{y}{1+x}+1$。 步骤3：解微分方程$\displaystyle y'-\frac{y}{1+x}=1$，一阶线性，通解$\displaystyle y=e^{\int\frac{dx}{1+x}}\left(\int e^{-\int\frac{dx}{1+x}}dx + C\right)=(1+x)\left(\int\frac{dx}{1+x}+C\right)=(1+x)(\ln(1+x)+C)$。 步骤4：代入$y(0)=1$，得$1=1\cdot(\ln1+C)$，$C=1$，故$y=(1+x)(\ln(1+x)+1)$。 **难度**：★★★☆☆