kaoyan1basic 高等数学 第77题
📝 题目
### 第77题 设 $a>0$ 是常数，连续函数 $f(x)$ 满足 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=b, y=y(x)$ 是微分方程 $$ y^{\prime \prime}+a y^{\prime}=f(x) \quad(x \in[0,+\infty)) $$ 的解，则 $\lim _{x \rightarrow+\infty} y^{\prime}(x)=$ $\_\_\_\_$ ， $\lim _{x \rightarrow+\infty} y^{\prime \prime}(x)=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\lim_{x\to+\infty}y'(x)=0$，$\lim_{x\to+\infty}y''(x)=0$ **解析**： 步骤1：方程$y''+ay'=f(x)$，令$z=y'$，则$z'+az=f(x)$。 步骤2：解一阶线性方程，$z=e^{-ax}\left(\int_0^x f(t)e^{at}dt + C\right)$。 步骤3：由$\lim_{x\to+\infty}f(x)=b$，利用洛必达法则，$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{\int_0^x f(t)e^{at}dt}{e^{ax}} = \lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)e^{ax}}{ae^{ax}}=\frac{b}{a}$。 步骤4：故$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}z(x)=\frac{b}{a}$，即$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}y'(x)=\frac{b}{a}$。 步骤5：由原方程，$y''=f(x)-ay'$，取极限得$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}y''(x)=b-a\cdot\frac{b}{a}=0$。 **难度**：★★★☆☆