kaoyan1basic 高等数学 第78题
📝 题目
### 第78题 若通过点 $(1,0)$ 的曲线 $y=y(x)$ 上每一点 $(x, y)$ 处切线的斜率等于 $\displaystyle 1+\frac{y}{x}+\left(\frac{y}{x}\right)^{2}$ ，则此曲线的方程是 $\_\_\_\_$。 答题区 □
💡 答案解析
**答案**：$y = x \tan(\ln|x| + C)$，代入$(1,0)$得$C=0$，故曲线方程为$y = x \tan(\ln|x|)$ **解析**： 步骤1：由题意得$\displaystyle \frac{dy}{dx} = 1 + \frac{y}{x} + \left(\frac{y}{x}\right)^2$，令$\displaystyle u = \frac{y}{x}$，则$y = ux$，$\displaystyle \frac{dy}{dx} = u + x\frac{du}{dx}$。 步骤2：代入得$\displaystyle u + x\frac{du}{dx} = 1 + u + u^2$，即$\displaystyle x\frac{du}{dx} = 1 + u^2$，分离变量$\displaystyle \frac{du}{1+u^2} = \frac{dx}{x}$，积分得$\arctan u = \ln|x| + C$，故$u = \tan(\ln|x| + C)$，即$y = x \tan(\ln|x| + C)$。代入$(1,0)$得$0 = \tan C$，取$C=0$，得$y = x \tan(\ln|x|)$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：建立微分方程
由题意，曲线在点(x,y)处切线的斜率为1 + y/x + (y/x)^2，即dy/dx = 1 + y/x + (y/x)^2。
公式：dy/dx = 1 + y/x + (y/x)^2
提示：注意切线斜率的表达式已给出，直接写出微分方程。
步骤 2/4
目标：变量代换
令u = y/x，则y = ux，对x求导得dy/dx = u + x du/dx。代入原方程得u + x du/dx = 1 + u + u^2，化简得x du/dx = 1 + u^2。
公式：u = y/x, dy/dx = u + x du/dx
提示：齐次微分方程常用代换u=y/x。
步骤 3/4
目标：分离变量并积分
分离变量得du/(1+u^2) = dx/x，两边积分得∫du/(1+u^2) = ∫dx/x，即arctan u = ln|x| + C。
公式：∫du/(1+u^2) = arctan u + C, ∫dx/x = ln|x| + C
提示：积分常数C要加在右边。
步骤 4/4
目标：回代并求解常数
由arctan u = ln|x| + C得u = tan(ln|x| + C)，回代u=y/x得y = x tan(ln|x| + C)。代入初始条件(1,0)得0 = tan(C)，取C=0，故曲线方程为y = x tan(ln|x|)。
公式：y = x tan(ln|x| + C), 代入(1,0)得C=0
提示：注意tan函数的周期性，取最简单的C=0。
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