kaoyan1basic 高等数学 第79题
📝 题目
### 第79题 当 $y>0$ 时，微分方程 $\left(x-2 x y-y^{2}\right) \mathrm{d} y+y^{2} \mathrm{~d} x=0$ 的通解为 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$x = y^2 + Cy e^{1/y}$ **解析**： 步骤1：原方程化为$(x - 2xy - y^2)dy + y^2 dx = 0$，即$y^2 dx + (x - 2xy - y^2)dy = 0$。 步骤2：视$x$为因变量，$y$为自变量，整理得$\displaystyle \frac{dx}{dy} + \frac{1-2y}{y^2}x = 1$，为一阶线性微分方程。 步骤3：通解公式$\displaystyle x = e^{-\int \frac{1-2y}{y^2} dy} \left( \int e^{\int \frac{1-2y}{y^2} dy} dy + C \right)$。计算$\displaystyle \int \frac{1-2y}{y^2} dy = \int \left( \frac{1}{y^2} - \frac{2}{y} \right) dy = -\frac{1}{y} - 2\ln y$，故$\displaystyle e^{\int \frac{1-2y}{y^2} dy} = e^{-1/y} \cdot y^{-2}$，$\displaystyle e^{-\int \frac{1-2y}{y^2} dy} = e^{1/y} \cdot y^2$。 步骤4：代入得$x = y^2 e^{1/y} \left( \int e^{-1/y} \cdot y^{-2} dy + C \right) = y^2 e^{1/y} \left( e^{-1/y} + C \right) = y^2 + C y^2 e^{1/y}$。 **难度**：★★★☆☆