kaoyan1basic 高等数学 第80题
📝 题目
### 第80题 设 $y=y(x)$ 是微分方程 $\left(3 x^{2}+2\right) y^{\prime \prime}=6 x y^{\prime}$ 的一个特解，且当 $x \rightarrow 0$ 时 $y(x)$ 是与 $\mathrm{e}^{x}-1$ 等价的无穷小量，则该特解是 $\_\_\_\_$ ． □
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle y = \frac{1}{3}x^3$ **解析**： 步骤1：方程$(3x^2+2)y'' = 6xy'$，令$p = y'$，则$p' = y''$，得$(3x^2+2)p' = 6xp$，分离变量$\displaystyle \frac{dp}{p} = \frac{6x}{3x^2+2}dx$。 步骤2：积分得$\ln|p| = \ln|3x^2+2| + C_1$，即$p = C_1(3x^2+2)$，故$y' = C_1(3x^2+2)$。 步骤3：积分得$y = C_1(x^3 + 2x) + C_2$。当$x \to 0$时，$y(x)$与$e^x - 1 \sim x$等价无穷小，故$y(0)=0$且$y'(0)=1$。 步骤4：由$y(0)=C_2=0$，$y'(0)=2C_1=1$得$\displaystyle C_1=\frac{1}{2}$，故$\displaystyle y = \frac{1}{2}(x^3+2x) = \frac{1}{2}x^3 + x$。但检验$x \to 0$时$\displaystyle \frac{y}{x} = \frac{1}{2}x^2+1 \to 1$，等价成立。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：降阶，将二阶微分方程化为一阶
令 p = y'，则 y'' = p'，原方程化为 (3x^2+2)p' = 6xp。
公式：p = y', p' = y''
提示：注意 p 是 x 的函数。
步骤 2/4
目标：分离变量并积分
分离变量得 dp/p = 6x/(3x^2+2) dx，两边积分得 ln|p| = ln|3x^2+2| + C1，即 p = C1(3x^2+2)。
公式：∫ dp/p = ∫ 6x/(3x^2+2) dx
提示：积分时注意绝对值，但常数可正可负。
步骤 3/4
目标：积分求 y
由 y' = C1(3x^2+2)，积分得 y = C1(x^3+2x) + C2。
公式：∫ (3x^2+2) dx = x^3+2x
提示：不要漏掉积分常数 C2。
步骤 4/4
目标：利用等价无穷小条件确定常数
x→0 时 y(x) 与 e^x-1 ~ x 等价，故 y(0)=0 且 y'(0)=1。由 y(0)=C2=0，y'(0)=2C1=1 得 C1=1/2，C2=0。因此 y = (1/2)(x^3+2x) = (1/2)x^3 + x。
公式：y(0)=0, y'(0)=1
提示：等价无穷小要求极限为1，即 y(x)/x → 1，从而 y(0)=0, y'(0)=1。
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