kaoyan1basic 高等数学 第5题
📝 题目
### 【基础篇】第5题（选择题） 5．当 $x \rightarrow 0$ 时， $\mathrm{e}-\mathrm{e}^{\cos x}$ 是 $\sqrt[3]{1+x^{2}}-1$ 的（ ）。 （A）高阶无穷小 （B）低阶无穷小 （C）同阶但非等价无穷小 （D）等价无穷小
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：步骤1：当$x\to0$时，$\displaystyle e-e^{\cos x}=e(1-e^{\cos x-1})\sim e(1-\cos x)\sim e\cdot\frac{x^2}{2}$。 步骤2：$\displaystyle \sqrt[3]{1+x^2}-1\sim \frac{1}{3}x^2$。 步骤3：两者之比$\displaystyle \to \frac{e/2}{1/3}=\frac{3e}{2}\neq1$，故同阶非等价。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：化简分子 e - e^{cos x} 为等价无穷小形式
当 x→0 时，e - e^{cos x} = e(1 - e^{cos x - 1})。由于 cos x - 1 → 0，利用 e^u - 1 ~ u，得 1 - e^{cos x - 1} ~ -(cos x - 1) = 1 - cos x。而 1 - cos x ~ x^2/2，所以 e - e^{cos x} ~ e * x^2/2。
公式：e^u - 1 ~ u (u→0); 1 - cos x ~ x^2/2
提示：注意提取公因子 e，并利用指数函数的等价无穷小替换。
步骤 2/3
目标：化简分母 ∛(1+x^2) - 1 为等价无穷小形式
当 x→0 时，利用 (1+u)^α - 1 ~ α u，其中 u = x^2，α = 1/3，得 ∛(1+x^2) - 1 ~ (1/3)x^2。
公式：(1+u)^α - 1 ~ α u (u→0)
提示：注意将根式转化为幂函数形式。
步骤 3/3
目标：比较分子和分母的阶数，确定无穷小关系
分子 ~ e x^2/2，分母 ~ x^2/3，两者之比为 (e/2)/(1/3) = 3e/2 ≠ 1，因此是同阶但非等价无穷小。
提示：比较阶数时，只需看 x 的幂次，若幂次相同则进一步比较系数。
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