kaoyan1basic 高等数学 第5题

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📝 题目

### 【强化篇】第5题（填空题） 5．设 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left[1+2 x+3 x^{2}+\frac{f(x)}{x}\right]^{\frac{1}{x}}=\mathrm{e}^{5}$ ，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left[1+\frac{f(x)}{x}\right]^{\frac{1}{x}}=$ $\_\_\_\_$ ．

💡 答案解析

**答案**：$e^3$ **解析**：步骤1：已知$\displaystyle \lim_{x\to0}\left[1+2x+3x^2+\frac{f(x)}{x}\right]^{\frac{1}{x}}=e^5$，取对数得$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{1}{x}\ln\left(1+2x+3x^2+\frac{f(x)}{x}\right)=5$。 步骤2：利用等价无穷小，$\ln(1+u)\sim u$，则$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{1}{x}\left(2x+3x^2+\frac{f(x)}{x}\right)=5$，即$\displaystyle \lim_{x\to0}\left(2+3x+\frac{f(x)}{x^2}\right)=5$，故$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x^2}=3$。 步骤3：所求极限$\displaystyle \lim_{x\to0}\left[1+\frac{f(x)}{x}\right]^{\frac{1}{x}}=\exp\left(\lim_{x\to0}\frac{1}{x}\cdot\frac{f(x)}{x}\right)=\exp\left(\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x^2}\right)=e^3$。 **难度**：★★★☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/4
目标：利用已知极限取对数，得到关于f(x)的极限条件
已知 $\displaystyle \lim_{x \to 0} \left[1+2x+3x^2+\frac{f(x)}{x}\right]^{\frac{1}{x}} = e^5$，两边取自然对数得 $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \ln\left(1+2x+3x^2+\frac{f(x)}{x}\right) = 5$。
公式：$\lim u^v = e^{\lim v \ln u}$
提示：当极限为幂指函数时，常用取对数法转化为极限计算。
步骤 2/4
目标：利用等价无穷小简化对数部分
当 $x \to 0$ 时，$\ln(1+u) \sim u$，其中 $u = 2x+3x^2+\frac{f(x)}{x}$。代入得 $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \left(2x+3x^2+\frac{f(x)}{x}\right) = 5$，即 $\displaystyle \lim_{x \to 0} \left(2+3x+\frac{f(x)}{x^2}\right) = 5$。
公式：$\ln(1+u) \sim u \ (u \to 0)$
提示：使用等价无穷小需确保 $u \to 0$，此处由极限存在可推知 $\frac{f(x)}{x} \to 0$。
步骤 3/4
目标：解出 $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x^2}$
由 $\displaystyle \lim_{x \to 0} \left(2+3x+\frac{f(x)}{x^2}\right) = 5$，得 $2 + 0 + \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x^2} = 5$，所以 $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x^2} = 3$。
提示：注意 $3x \to 0$。
步骤 4/4
目标：计算所求极限
所求极限 $\displaystyle \lim_{x \to 0} \left[1+\frac{f(x)}{x}\right]^{\frac{1}{x}} = \exp\left(\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \cdot \frac{f(x)}{x}\right) = \exp\left(\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x^2}\right) = e^3$。
公式：$\lim (1+u)^{\frac{1}{x}} = e^{\lim \frac{u}{x}}$ 当 $u \to 0$
提示：此处 $u = \frac{f(x)}{x}$，且由前知 $u \to 0$，故可用等价形式。

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