kaoyan1basic 高等数学 第6题
📝 题目
### 【基础篇】第6题（选择题） 6．设函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 的某邻域内有定义，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1} \frac{x-f(x-1)-1}{\ln x}=1$ ，则以下结论： （1）$f(0)=0$ ； （2） $\lim _{x \rightarrow 0} f(x)=0$ ； （3） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=1$ ； （4）当 $x \rightarrow 0$ 时，$f(x)$ 是 $x$ 的高阶无穷小。 所有正确结论的序号为（ ）。 （A）（1）（2） （B）（2）（4） （C）（3）（4） （D）（2）（3）
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：步骤1：令$t=x-1$，则$x\to1$时$t\to0$，条件化为$\displaystyle \lim_{t\to0}\frac{t+1-f(t)-1}{\ln(1+t)}=\lim_{t\to0}\frac{t-f(t)}{t}=1$，故$\displaystyle \lim_{t\to0}\frac{f(t)}{t}=0$，即$f(0)=0$且$f(x)=o(x)$。 步骤2：由$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x}=0$，知$f(x)$是$x$的高阶无穷小，故(2)(3)正确，(1)中$f(0)=0$正确但未直接给出，(4)正确。但(1)由极限存在知$f(0)=0$，故(1)也正确。检查选项：所有正确结论为(1)(2)(3)(4)，但选项无。重新分析：$\displaystyle \lim_{t\to0}\frac{t-f(t)}{t}=1$得$\displaystyle \lim_{t\to0}\frac{f(t)}{t}=0$，故$f(0)=0$，且$f(x)=o(x)$，故(1)(2)(3)正确，(4)说$f(x)$是$x$的高阶无穷小，即$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x}=0$，正确。但(3)说$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x}=1$，错误。故正确为(1)(2)(4)，对应选项？(1)(2)正确，(4)正确，但(3)错误，故(1)(2)(4)正确，选项A为(1)(2)，B为(2)(4)，C为(3)(4)，D为(2)(3)。故B正确。 **难度**：★★★☆☆