kaoyan1basic 高等数学 第7题
📝 题目
### 【强化篇】第7题（选择题） 7．设 $f(x), g(x)$ 在点 $x=0$ 的某邻域内连续，且当 $x \rightarrow 0$ 时，$f(x)$ 与 $g(x)$ 为等价无穷小，则当 $x \rightarrow 0$ 时， $\int_{0}^{x} f(t)(1-\cos t) \mathrm{d} t$ 是 $\int_{0}^{x} t^{2} g(t) \mathrm{d} t$ 的 ）． （A）等价无穷小 （B）同阶但非等价无穷小 （C）高阶无穷小 （D）低阶无穷小
💡 答案解析
**答案**：B **解析**：步骤1：当$x\to0$时，$f(x)\sim g(x)$，则$\displaystyle \int_0^x f(t)(1-\cos t)dt \sim \int_0^x g(t)\cdot\frac{t^2}{2}dt = \frac{1}{2}\int_0^x t^2 g(t)dt$。 步骤2：故两者之比趋于$\displaystyle \frac{1}{2}$，为同阶非等价。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：利用等价无穷小替换简化被积函数
当 x→0 时，f(x) ~ g(x)，且 1-cos t ~ t^2/2，因此 ∫_0^x f(t)(1-cos t) dt ~ ∫_0^x g(t) * (t^2/2) dt = (1/2) ∫_0^x t^2 g(t) dt。
公式：1-cos t ~ t^2/2 (t→0)
提示：注意等价无穷小替换在积分中的使用条件：被积函数在积分区间内连续且非负（或可比较）。
步骤 2/2
目标：比较两个无穷小的阶数
由第一步得，∫_0^x f(t)(1-cos t) dt / ∫_0^x t^2 g(t) dt → 1/2 (x→0)，因此两者为同阶但非等价无穷小。
公式：lim_{x→0} [∫_0^x f(t)(1-cos t) dt] / [∫_0^x t^2 g(t) dt] = 1/2
提示：等价无穷小要求比值的极限为1，此处为1/2，故为同阶非等价。
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