kaoyan1basic 高等数学 第8题

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📝 题目

### 【基础篇】第8题（选择题） 8．设 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin 2 x+x f(x)}{x^{3}}=1$ ，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 \cos x+f(x)}{x^{2}}=(\quad)$ ． （A） 0 （B）$\displaystyle -\frac{2}{3}$ （C）$\displaystyle \frac{4}{3}$ （D）$\infty$

💡 答案解析

**答案**：C **解析**：步骤1：由$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\sin2x+xf(x)}{x^3}=1$，将$\displaystyle \sin2x=2x-\frac{4}{3}x^3+o(x^3)$代入，得$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{2x-\frac{4}{3}x^3+xf(x)+o(x^3)}{x^3}=1$，即$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{2+f(x)}{x^2}-\frac{4}{3}=1$，故$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{2+f(x)}{x^2}=\frac{7}{3}$。 步骤2：所求极限$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{2\cos x+f(x)}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{2(1-\frac{x^2}{2}+o(x^2))+f(x)}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{2+f(x)}{x^2}-1=\frac{7}{3}-1=\frac{4}{3}$。 **难度**：★★★☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/2
目标：利用已知极限条件，通过泰勒展开将 sin2x 展开，得到关于 f(x) 的极限关系。
由已知极限 $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x + x f(x)}{x^3} = 1$，将 $\sin 2x$ 泰勒展开：$\sin 2x = 2x - \frac{4}{3}x^3 + o(x^3)$，代入得 $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{2x - \frac{4}{3}x^3 + x f(x) + o(x^3)}{x^3} = 1$，即 $\displaystyle \lim_{x \to 0} \left( \frac{2 + f(x)}{x^2} - \frac{4}{3} \right) = 1$，所以 $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{2 + f(x)}{x^2} = \frac{7}{3}$。
公式：$\sin 2x = 2x - \frac{4}{3}x^3 + o(x^3)$
提示：注意泰勒展开的阶数要与分母一致。
步骤 2/2
目标：计算所求极限，利用第一步的结果。
所求极限 $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{2\cos x + f(x)}{x^2}$，将 $\cos x$ 泰勒展开：$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + o(x^2)$，代入得 $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{2(1 - \frac{x^2}{2} + o(x^2)) + f(x)}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{2 + f(x)}{x^2} - 1 = \frac{7}{3} - 1 = \frac{4}{3}$。
公式：$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + o(x^2)$
提示：注意将 $2\cos x$ 展开后与 $f(x)$ 组合成已知形式。

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