kaoyan1basic 高等数学 第8题
📝 题目
### 【强化篇】第8题（选择题） 8．当 $x \rightarrow 0$ 时，$a \int_{0}^{x^{2}} \cos t^{2} \mathrm{~d} t$ 与 $\sin x-b \ln (1+x)$ 是等价无穷小，则 $(a, b)=$ ． （A）$(1,2)$ （B）$(-1,2)$ （C）$\displaystyle \left(\frac{1}{2}, 1\right)$ （D）$\displaystyle \left(-\frac{1}{2}, 1\right)$
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：步骤1：当$x\to0$时，$\int_0^{x^2}\cos t^2 dt \sim \int_0^{x^2}1 dt = x^2$，故$a\int_0^{x^2}\cos t^2 dt \sim a x^2$。 步骤2：$\displaystyle \sin x - b\ln(1+x) \sim x - b(x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3)) = (1-b)x + \frac{b}{2}x^2 - \frac{b}{3}x^3 + o(x^3)$。 步骤3：与$ax^2$等价，则$1-b=0$，即$b=1$，且$\displaystyle \frac{b}{2}=a$，即$\displaystyle a=\frac{1}{2}$，但选项无。检查：等价无穷小要求比值为1，故$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{a x^2}{(1-b)x}=0$，故需$1-b=0$，且$\displaystyle \frac{b}{2}=a$，得$\displaystyle a=\frac{1}{2},b=1$，对应选项C。但C为$\displaystyle (\frac{1}{2},1)$，正确。但答案选D，可能符号有误：$\sin x - b\ln(1+x)$展开为$\displaystyle x - b(x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3})= (1-b)x + \frac{b}{2}x^2 - \frac{b}{3}x^3$，与$ax^2$等价，则$1-b=0$，$b=1$，$\displaystyle \frac{1}{2}=a$，故$\displaystyle a=\frac{1}{2}$，选C。但题目答案D为$\displaystyle (-\frac{1}{2},1)$，可能我展开有误：$\displaystyle \ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3)$，故$\displaystyle \sin x - b\ln(1+x)=x - b(x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3})+o(x^3)=(1-b)x+\frac{b}{2}x^2-\frac{b}{3}x^3+o(x^3)$，与$ax^2$等价，则$1-b=0$，$b=1$，$\displaystyle \frac{1}{2}=a$，故C正确。但若题目中为等价无穷小，则$\displaystyle a=\frac{1}{2}$，但答案D为$\displaystyle -\frac{1}{2}$，可能符号错误。 **难度**：★★★☆☆