kaoyan1basic 高等数学 第9题
📝 题目
### 【基础篇】第9题（选择题） 9． $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\mathrm{e}^{x}-x \arctan x}{\mathrm{e}^{r}+x}=(\quad)$ ． （A） 1 （B）$\displaystyle \frac{\pi}{2}$ （C） 0 （D）不存在
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：步骤1：当$x\to+\infty$时，$e^x$主导，$\displaystyle \frac{e^x - x\arctan x}{e^x + x} \sim \frac{e^x}{e^x}=1$。 步骤2：当$x\to-\infty$时，$e^x\to0$，$\displaystyle \frac{e^x - x\arctan x}{e^x + x} \sim \frac{-x(-\frac{\pi}{2})}{x} = \frac{\pi}{2}$（因为$\displaystyle \arctan x\to -\frac{\pi}{2}$），故左右极限不等，极限不存在。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：分析x→+∞时的极限
当x→+∞时，e^x远大于x，因此分子分母中的x项可忽略。分子e^x - x arctan x ~ e^x，分母e^x + x ~ e^x，故极限为1。
公式：lim_{x→+∞} (e^x - x arctan x)/(e^x + x) = 1
提示：注意x→+∞时arctan x→π/2，但x arctan x相对于e^x仍可忽略。
步骤 2/3
目标：分析x→-∞时的极限
当x→-∞时，e^x→0，分子e^x - x arctan x ~ -x arctan x，分母e^x + x ~ x。由于x→-∞，arctan x→-π/2，故分子~ -x*(-π/2)= (π/2)x，分母~ x，所以极限为π/2。
公式：lim_{x→-∞} (e^x - x arctan x)/(e^x + x) = π/2
提示：注意x→-∞时arctan x→-π/2，且x为负，符号处理要小心。
步骤 3/3
目标：比较左右极限，得出结论
由于x→+∞时极限为1，x→-∞时极限为π/2，左右极限不相等，因此原极限不存在。
提示：极限存在的充要条件是左右极限存在且相等。
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