kaoyan1basic 高等数学 第10题
📝 题目
### 【基础篇】第10题（填空题） 10． $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} x\left(2^{\frac{1}{x}}-3^{\frac{1}{x}}\right)=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \ln\frac{2}{3}$ **解析**：步骤1：令$\displaystyle t=\frac{1}{x}$，则$x\to+\infty$时$t\to0^+$，原极限$\displaystyle =\lim_{t\to0^+}\frac{2^t-3^t}{t}$。 步骤2：利用等价无穷小，$\displaystyle 2^t-3^t = e^{t\ln2}-e^{t\ln3} \sim t(\ln2-\ln3) = t\ln\frac{2}{3}$，故原极限$\displaystyle =\ln\frac{2}{3}$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：将极限转化为标准形式
令 t = 1/x，当 x → +∞ 时，t → 0⁺。原极限化为 lim_{t→0⁺} (2^t - 3^t)/t。
公式：t = 1/x
提示：注意变量替换后极限过程的变化。
步骤 2/2
目标：利用等价无穷小化简
将 2^t 和 3^t 写为指数形式：2^t = e^{t ln2}，3^t = e^{t ln3}。当 t → 0 时，e^{t ln2} - e^{t ln3} ~ t (ln2 - ln3) = t ln(2/3)。因此原极限 = lim_{t→0⁺} [t ln(2/3)] / t = ln(2/3)。
公式：e^{u} - e^{v} ~ u - v (当 u,v → 0)
提示：等价无穷小替换时需确保替换后的表达式与原式是等价的。
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