kaoyan1basic 高等数学 第10题
📝 题目
### 【强化篇】第10题（填空题） 10．已知 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{3}-3 x^{2}+b x^{2}+x-3 b x-3}{x+a}=25$ ，则 $a b=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$15$ **解析**： 步骤1：由于分母趋于0，极限存在，分子在$x=-3$处必为0，代入得$(-27)-27+9b-3+9b-3=0$，即$18b-60=0$，解得$\displaystyle b=\frac{10}{3}$。 步骤2：分子因式分解后与分母约去$x+3$，代入$x=-3$求极限得$\displaystyle \lim_{x\to -3}\frac{x^3-3x^2+\frac{10}{3}x^2+x-10x-3}{x+a}=25$，化简分子为$\displaystyle x^3+\frac{1}{3}x^2-9x-3$，除以$x+3$得$\displaystyle x^2-\frac{8}{3}x-1$，代入$x=-3$得$9+8-1=16$，故$\displaystyle \frac{16}{-3+a}=25$，解得$\displaystyle a=\frac{91}{25}$。 步骤3：$\displaystyle ab=\frac{91}{25}\times\frac{10}{3}=\frac{910}{75}=\frac{182}{15}$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：确定分子在x=-3处为零，求出b
由于分母趋于0，极限存在，分子在x=-3处必为0。代入x=-3得：(-27)-27+9b-3+9b-3=0，即18b-60=0，解得b=10/3。
公式：f(-3)=0
提示：极限存在且分母为0时，分子必须也为0。
步骤 2/4
目标：化简分子并因式分解，约去公因子x+3
将b=10/3代入分子：x^3-3x^2+(10/3)x^2+x-10x-3 = x^3 + (1/3)x^2 -9x -3。用多项式除法除以(x+3)得：x^2 - (8/3)x -1。
公式：x^3 + (1/3)x^2 -9x -3 = (x+3)(x^2 - (8/3)x -1)
提示：多项式除法或因式分解技巧。
步骤 3/4
目标：代入x=-3求极限，解出a
极限为lim_{x→-3} (x^2 - (8/3)x -1)/(x+a) = 25。代入x=-3得分子值为9+8-1=16，所以16/(-3+a)=25，解得a=91/25。
公式：16/(-3+a)=25
提示：注意分母代入后为-3+a。
步骤 4/4
目标：计算ab
ab = (91/25)*(10/3)=910/75=182/15。
公式：ab = 182/15
提示：分数乘法化简。
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