kaoyan1basic 高等数学 第11题
📝 题目
### 【基础篇】第11题（填空题） 11．求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1+x)-\left(x-\frac{5}{2} x^{2}\right)}{x^{2}}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$3$ **解析**： 步骤1：将$\ln(1+x)$展开为$\displaystyle x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3)$。 步骤2：代入得$\displaystyle \ln(1+x)-(x-\frac{5}{2}x^2)= (x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3))-x+\frac{5}{2}x^2 = 2x^2+\frac{x^3}{3}+o(x^3)$。 步骤3：除以$x^2$取极限得$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{2x^2+\frac{x^3}{3}+o(x^3)}{x^2}=2$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：将ln(1+x)展开为泰勒级数
将ln(1+x)在x=0处展开：ln(1+x) = x - x^2/2 + x^3/3 + o(x^3)。
公式：ln(1+x) = x - x^2/2 + x^3/3 + o(x^3)
提示：注意展开到x^3项，因为分母是x^2，需要保留到x^2项以上。
步骤 2/3
目标：代入并化简分子
代入ln(1+x)的展开式：ln(1+x) - (x - 5/2 x^2) = (x - x^2/2 + x^3/3 + o(x^3)) - x + 5/2 x^2 = ( -1/2 + 5/2 ) x^2 + x^3/3 + o(x^3) = 2x^2 + x^3/3 + o(x^3)。
公式：ln(1+x) - (x - 5/2 x^2) = 2x^2 + x^3/3 + o(x^3)
提示：合并同类项时注意系数计算。
步骤 3/3
目标：求极限
将化简后的分子除以x^2，取极限：lim_{x→0} (2x^2 + x^3/3 + o(x^3)) / x^2 = lim_{x→0} (2 + x/3 + o(x)) = 2。
公式：lim_{x→0} (2x^2 + x^3/3 + o(x^3))/x^2 = 2
提示：当x→0时，高阶无穷小项趋于0。
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