kaoyan1basic 高等数学 第11题

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📝 题目

### 【强化篇】第11题（解答题） 11．设函数 $f(x)$ 在 $0<|x|<1$ 上有定义，且满足 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left[\cos x+\frac{f(x)}{x}\right]^{\frac{1}{2}}=\mathrm{e}^{-1}$ ，求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{\sin ^{3} x}$ ．

💡 答案解析

**答案**：$\displaystyle -\frac{1}{3}$ **解析**： 步骤1：由$\displaystyle \lim_{x\to0}\left[\cos x+\frac{f(x)}{x}\right]^{\frac{1}{2}}=e^{-1}$，两边取对数得$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{1}{2}\ln\left(\cos x+\frac{f(x)}{x}\right)=-1$，即$\displaystyle \lim_{x\to0}\ln\left(\cos x+\frac{f(x)}{x}\right)=-2$，故$\displaystyle \lim_{x\to0}\left(\cos x+\frac{f(x)}{x}\right)=e^{-2}$。 步骤2：$\displaystyle \cos x\sim1-\frac{x^2}{2}$，代入得$\displaystyle \lim_{x\to0}\left(1-\frac{x^2}{2}+\frac{f(x)}{x}\right)=e^{-2}$，即$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x}=e^{-2}-1$，故$f(x)\sim (e^{-2}-1)x$。 步骤3：$\sin^3x\sim x^3$，则$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{f(x)}{\sin^3x}=\lim_{x\to0}\frac{(e^{-2}-1)x}{x^3}$，此极限为无穷大，需重新考虑。原极限条件应为$\displaystyle \lim_{x\to0}\left[\cos x+\frac{f(x)}{x}\right]^{\frac{1}{x^2}}=e^{-1}$，则取对数得$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{1}{x^2}\ln\left(\cos x+\frac{f(x)}{x}\right)=-1$，展开$\displaystyle \cos x=1-\frac{x^2}{2}+o(x^2)$，设$\displaystyle \frac{f(x)}{x}=ax^2+o(x^2)$，则$\displaystyle \ln(1-\frac{x^2}{2}+ax^2+o(x^2))\sim (a-\frac12)x^2$，故$\displaystyle a-\frac12=-1$，得$\displaystyle a=-\frac12$，即$\displaystyle f(x)=-\frac12x^3+o(x^3)$，所以$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{f(x)}{\sin^3x}=-\frac12$。 **难度**：★★★☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/4
目标：利用极限条件取对数，得到关于f(x)的等式
由已知极限 $\lim_{x\to 0}\left[\cos x+\frac{f(x)}{x}\right]^{\frac{1}{x^2}}=e^{-1}$，两边取自然对数得 $\lim_{x\to 0}\frac{1}{x^2}\ln\left(\cos x+\frac{f(x)}{x}\right)=-1$。
公式：$\lim_{x\to 0}\frac{1}{x^2}\ln\left(\cos x+\frac{f(x)}{x}\right)=-1$
提示：注意原题中指数应为 $\frac{1}{x^2}$ 而非 $\frac{1}{2}$，否则极限为无穷大。
步骤 2/4
目标：展开cos x并设f(x)/x的展开形式
将 $\cos x$ 展开为 $1-\frac{x^2}{2}+o(x^2)$，并设 $\frac{f(x)}{x}=ax^2+o(x^2)$，则 $\cos x+\frac{f(x)}{x}=1+(a-\frac12)x^2+o(x^2)$。
公式：$\cos x=1-\frac{x^2}{2}+o(x^2)$
提示：设 $f(x)/x$ 的展开时，考虑到分母 $x^2$，应设至 $x^2$ 项。
步骤 3/4
目标：利用等价无穷小求参数a
由于 $\ln(1+u)\sim u$ 当 $u\to 0$，故 $\ln\left(1+(a-\frac12)x^2+o(x^2)\right)\sim (a-\frac12)x^2$。代入极限条件得 $\lim_{x\to 0}\frac{(a-\frac12)x^2}{x^2}=a-\frac12=-1$，解得 $a=-\frac12$。
公式：$\ln(1+u)\sim u$
提示：注意等价无穷小替换时，必须保证 $u\to 0$。
步骤 4/4
目标：得到f(x)的等价形式并求极限
由 $a=-\frac12$ 得 $f(x)=-\frac12 x^3+o(x^3)$，又 $\sin^3 x\sim x^3$，故 $\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{\sin^3 x}=\lim_{x\to 0}\frac{-\frac12 x^3+o(x^3)}{x^3}=-\frac12$。
公式：$\sin x\sim x$
提示：注意 $f(x)$ 的主项为 $x^3$ 阶，与分母同阶。

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