kaoyan1basic 高等数学 第12题
📝 题目
### 【基础篇】第12题（填空题） 12． $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{2-\sin x-\cos x}{1+x}\right)^{\frac{1}{\min x}}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle e^{-\frac12}$ **解析**： 步骤1：原极限为$1^\infty$型，取对数得$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{1}{\sin x}\ln\frac{2-\sin x-\cos x}{1+x}$。 步骤2：$\displaystyle \ln\frac{2-\sin x-\cos x}{1+x}=\ln(2-\sin x-\cos x)-\ln(1+x)$，展开：$\displaystyle 2-\sin x-\cos x=2-(x-\frac{x^3}{6}+o(x^3))-(1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+o(x^4))=1-x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+o(x^3)$，$\displaystyle \ln(1-x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+o(x^3))=-x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}-\frac12(-x)^2+o(x^2)=-x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}-\frac{x^2}{2}+o(x^2)=-x+\frac{x^3}{6}+o(x^3)$，减去$\displaystyle \ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+o(x^2)$得$\displaystyle -2x+\frac{x^3}{6}+\frac{x^2}{2}+o(x^2)$。 步骤3：除以$\sin x\sim x$得极限为$-2$，故原极限为$e^{-2}$。 **难度**：★★★☆☆