kaoyan1basic 高等数学 第12题
📝 题目
### 【强化篇】第12题（填空题） 12．设函数 $f(x)$ 在点 $x=0$ 处连续，$\displaystyle f(0)=\frac{1}{2}$ ，且函数 $\displaystyle g(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1}{x} \sin \frac{x}{2}, & x<0, \\ x+\frac{1}{2}, & x \geqslant 0,\end{array}\right.$ 则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x f(x)+g(x) \int_{0}^{2 x} \cos t^{2} \mathrm{~d} t}{x g(x)}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$2$ **解析**： 步骤1：$g(x)$在$x=0$处左极限为$\displaystyle \lim_{x\to0^-}\frac{1}{x}\sin\frac{x}{2}=\frac12$，右极限为$\displaystyle \frac12$，故$\displaystyle g(0)=\frac12$，$g(x)$连续。 步骤2：$\int_0^{2x}\cos t^2 dt\sim 2x$（当$x\to0$），分子中$\displaystyle x f(x)\sim \frac12 x$，$\displaystyle g(x)\int_0^{2x}\cos t^2 dt\sim \frac12\cdot 2x=x$，故分子$\displaystyle \sim \frac12 x+x=\frac32 x$。 步骤3：分母$\displaystyle x g(x)\sim x\cdot\frac12=\frac12 x$，故极限为$\displaystyle \frac{\frac32 x}{\frac12 x}=3$。 **难度**：★★★☆☆