kaoyan1basic 高等数学 第13题
📝 题目
### 【强化篇】第13题（选择题） 13．$\displaystyle f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \pi^{x}\left[\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}-\mathrm{e}\right]$ 在 $x=1$ 处（ ）。 （A）左极限存在，右极限不存在 （B）左极限不存在，右极限存在 （C）左、右极限都存在，但不相等 （D）连续
💡 答案解析
**答案**：D **解析**： 步骤1：$\displaystyle \lim_{n\to\infty}(1+\frac1n)^n=e$，故$f(x)=\pi^x\cdot0=0$在$x=1$处连续。 步骤2：实际上$\displaystyle (1+\frac1n)^n-e\sim -\frac{e}{2n}$，故$\displaystyle f(x)=\pi^x\cdot(-\frac{e}{2n})$，但极限为0，函数恒为0，在$x=1$处连续。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：计算极限表达式
首先，注意到极限 \(\lim_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^n = e\)，因此 \(\left[(1+\frac{1}{n})^n - e\right] \to 0\)。于是 \(f(x) = \pi^x \cdot 0 = 0\) 对所有 \(x\) 成立，特别地，在 \(x=1\) 处函数值为 0。
公式：\lim_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^n = e
提示：注意极限的乘积法则：若一个因子趋于0，则整个乘积趋于0。
步骤 2/2
目标：判断连续性
由于 \(f(x)\) 恒为0，它在 \(x=1\) 处连续，因为左右极限均为0且等于函数值。
提示：连续的定义：极限值等于函数值。
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