kaoyan1basic 高等数学 第14题
📝 题目
### 【强化篇】第14题（解答题） 14．计算 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}\left[\frac{x^{x+1}}{(1+x)^{x}}-\frac{x}{\mathrm{e}}\right]$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle -\frac12$ **解析**： 步骤1：令$\displaystyle t=\frac1x$，则$x\to+\infty$时$t\to0^+$，原式$\displaystyle =\lim_{t\to0^+}\left[\frac{(1/t)^{1/t+1}}{(1+1/t)^{1/t}}-\frac{1}{e t}\right]=\lim_{t\to0^+}\left[\frac{t^{-1/t-1}}{(1+t)^{1/t}t^{-1/t}}-\frac{1}{e t}\right]=\lim_{t\to0^+}\left[\frac{1}{t(1+t)^{1/t}}-\frac{1}{e t}\right]$。 步骤2：$\displaystyle \frac{1}{t}\left(\frac{1}{(1+t)^{1/t}}-\frac1e\right)$，$\displaystyle (1+t)^{1/t}=e^{\frac1t\ln(1+t)}=e^{1-\frac t2+o(t)}=e\cdot e^{-\frac t2+o(t)}=e(1-\frac t2+o(t))$，故$\displaystyle \frac{1}{(1+t)^{1/t}}=\frac1e(1+\frac t2+o(t))$。 步骤3：代入得$\displaystyle \frac{1}{t}\left(\frac1e(1+\frac t2+o(t))-\frac1e\right)=\frac{1}{t}\cdot\frac{t}{2e}+o(1)=\frac{1}{2e}$，故极限为$\displaystyle \frac{1}{2e}$。 **难度**：★★★★☆