kaoyan1basic 高等数学 第15题
📝 题目
### 【基础篇】第15题（填空题） 15． $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \ln \left(1+2^{x}\right) \ln \left(1+\frac{2}{x}\right)=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$2\ln2$ **解析**： 步骤1：$\ln(1+2^x)\sim \ln(2^x)=x\ln2$（当$x\to+\infty$）。 步骤2：$\displaystyle \ln(1+\frac2x)\sim \frac2x$。 步骤3：乘积为$\displaystyle x\ln2\cdot\frac2x=2\ln2$。 **难度**：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：化简第一个因子 ln(1+2^x) 的等价无穷小
当 x→+∞ 时，2^x → +∞，因此 ln(1+2^x) ~ ln(2^x) = x ln 2。
公式：ln(1+2^x) ~ x ln 2 (x→+∞)
提示：注意当变量趋于无穷大时，1相对于2^x可以忽略。
步骤 2/3
目标：化简第二个因子 ln(1+2/x) 的等价无穷小
当 x→+∞ 时，2/x → 0，因此 ln(1+2/x) ~ 2/x。
公式：ln(1+u) ~ u (u→0)，这里 u=2/x
提示：使用等价无穷小替换时，注意变量趋于0。
步骤 3/3
目标：计算极限
原极限 = lim_{x→+∞} (x ln 2) * (2/x) = lim_{x→+∞} 2 ln 2 = 2 ln 2。
公式：x ln 2 * (2/x) = 2 ln 2
提示：约去 x 后得到常数，极限即为该常数。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。