kaoyan1basic 高等数学 第15题
📝 题目
### 【强化篇】第15题（填空题） 15． $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{\sin ^{2} x}\right)=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle -\frac13$ **解析**： 步骤1：通分得$\displaystyle \frac{\sin^2x-x^2}{x^2\sin^2x}$，$\sin^2x\sim x^2$，分母$\sim x^4$。 步骤2：分子$\displaystyle \sin^2x-x^2=(x-\frac{x^3}{6}+o(x^3))^2-x^2=x^2-\frac{x^4}{3}+o(x^4)-x^2=-\frac{x^4}{3}+o(x^4)$。 步骤3：极限为$\displaystyle \frac{-\frac13 x^4}{x^4}=-\frac13$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：通分并简化表达式
将原式通分：\(\frac{1}{x^2} - \frac{1}{\sin^2 x} = \frac{\sin^2 x - x^2}{x^2 \sin^2 x}\)。由于当 \(x \to 0\) 时，\(\sin x \sim x\)，所以分母 \(x^2 \sin^2 x \sim x^4\)。
公式：\frac{\sin^2 x - x^2}{x^2 \sin^2 x}
提示：注意等价无穷小替换仅在乘除因子中使用，此处分母可替换，分子需展开。
步骤 2/3
目标：展开分子中的正弦函数
将 \(\sin x\) 泰勒展开：\(\sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)\)，则 \(\sin^2 x = \left(x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)\right)^2 = x^2 - \frac{x^4}{3} + o(x^4)\)。
公式：\sin^2 x = x^2 - \frac{x^4}{3} + o(x^4)
提示：展开时注意保留到与分母同阶的项，此处分母为 \(x^4\) 阶，故展开到 \(x^4\) 项。
步骤 3/3
目标：计算分子并求极限
分子 \(\sin^2 x - x^2 = \left(x^2 - \frac{x^4}{3} + o(x^4)\right) - x^2 = -\frac{x^4}{3} + o(x^4)\)。因此极限为 \(\lim_{x \to 0} \frac{-\frac{x^4}{3} + o(x^4)}{x^4} = -\frac{1}{3}\)。
公式：\lim_{x \to 0} \frac{-\frac{x^4}{3} + o(x^4)}{x^4} = -\frac{1}{3}
提示：注意高阶无穷小 \(o(x^4)\) 除以 \(x^4\) 的极限为 0。
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