kaoyan1basic 高等数学 第16题
📝 题目
### 【基础篇】第16题（填空题） 16． $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty}\left(\cos \frac{1}{x}+\sin \frac{1}{x}\right)^{\frac{x}{2}}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$e$ **解析**： 步骤1：$\displaystyle \cos\frac1x+\sin\frac1x=\sqrt2\sin(\frac1x+\frac\pi4)$，但用指数法：取对数得$\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{x}{2}\ln(\cos\frac1x+\sin\frac1x)$。 步骤2：令$\displaystyle t=\frac1x$，则$t\to0$，$\ln(\cos t+\sin t)=\ln(1+t+o(t))\sim t$。 步骤3：$\displaystyle \frac{1}{2t}\cdot t=\frac12$，故极限为$\displaystyle e^{\frac12}$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：将原极限转化为指数形式
原极限为1^∞型，取自然对数后化为指数形式：
$\displaystyle \lim_{x\to\infty}\left(\cos\frac{1}{x}+\sin\frac{1}{x}\right)^{\frac{x}{2}} = e^{\lim_{x\to\infty}\frac{x}{2}\ln\left(\cos\frac{1}{x}+\sin\frac{1}{x}\right)}$
公式：$\lim f(x)^{g(x)} = e^{\lim g(x)\ln f(x)}$
提示：注意1^∞型极限的处理方法
步骤 2/4
目标：变量代换简化表达式
令 $t = \frac{1}{x}$，则当 $x\to\infty$ 时 $t\to 0$，原极限变为 $e^{\lim_{t\to 0}\frac{1}{2t}\ln(\cos t+\sin t)}$
公式：$t = 1/x$
提示：代换后注意极限过程的变化
步骤 3/4
目标：利用等价无穷小化简对数部分
当 $t\to 0$ 时，$\cos t + \sin t = 1 + t + o(t)$，所以 $\ln(\cos t+\sin t) \sim t$
公式：$\ln(1+u) \sim u$ 当 $u\to 0$
提示：注意展开到一阶项即可
步骤 4/4
目标：计算极限并得出结果
代入等价无穷小：$\lim_{t\to 0}\frac{1}{2t}\cdot t = \frac{1}{2}$，因此原极限为 $e^{1/2} = \sqrt{e}$
公式：$\lim_{t\to 0}\frac{1}{2t}\cdot t = \frac{1}{2}$
提示：最终结果不要忘记指数形式
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