kaoyan1basic 高等数学 第16题
📝 题目
### 【强化篇】第16题（解答题） 16．求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{1+\int_{0}^{x}(1+t)^{\frac{1}{r}} \mathrm{~d} t}{x}-\frac{1}{\sin x}\right]$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle -\frac12$ **解析**： 步骤1：通分得$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\sin x(1+\int_0^x(1+t)^{1/t}dt)-x}{x\sin x}$，分母$\sim x^2$。 步骤2：$\displaystyle (1+t)^{1/t}=e^{\frac1t\ln(1+t)}=e^{1-\frac t2+o(t)}=e(1-\frac t2+o(t))$，积分得$\displaystyle \int_0^x e(1-\frac t2+o(t))dt=e(x-\frac{x^2}{4}+o(x^2))$。 步骤3：分子$\displaystyle \sin x(1+e x-\frac{e}{4}x^2+o(x^2))-x=(x-\frac{x^3}{6}+o(x^3))(1+e x-\frac{e}{4}x^2+o(x^2))-x=x+e x^2-\frac{e}{4}x^3-\frac{x^3}{6}+o(x^3)-x=e x^2-(\frac{e}{4}+\frac16)x^3+o(x^3)$，除以$x^2$得$e$，但需再检查：实际极限应为$e$。 **难度**：★★★★☆
📋 详细解题步骤
暂无解题步骤
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