kaoyan1basic 高等数学 第17题
📝 题目
### 【基础篇】第17题（填空题） 17．$\displaystyle f(x)=\frac{\tan x}{1+x^{2}}$ 在 $x=0$ 处的 3 次泰勒多项式为 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle x+\frac{x^3}{3}$ **解析**： 步骤1：$\displaystyle \tan x=x+\frac{x^3}{3}+o(x^3)$，$\displaystyle \frac{1}{1+x^2}=1-x^2+o(x^2)$。 步骤2：乘积$\displaystyle (x+\frac{x^3}{3}+o(x^3))(1-x^2+o(x^2))=x-x^3+\frac{x^3}{3}+o(x^3)=x-\frac{2}{3}x^3+o(x^3)$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：展开tan x和1/(1+x^2)为泰勒级数
写出tan x在x=0处的3次泰勒展开：tan x = x + x^3/3 + o(x^3)；写出1/(1+x^2)在x=0处的2次泰勒展开：1/(1+x^2) = 1 - x^2 + o(x^2)。
公式：tan x = x + x^3/3 + o(x^3); 1/(1+x^2) = 1 - x^2 + o(x^2)
提示：注意tan x的展开需要记忆，1/(1+x^2)可由几何级数得到。
步骤 2/3
目标：计算乘积并保留至3次项
将两个展开式相乘：(x + x^3/3 + o(x^3)) * (1 - x^2 + o(x^2)) = x*1 + x*(-x^2) + (x^3/3)*1 + 高阶项 = x - x^3 + x^3/3 + o(x^3) = x - (2/3)x^3 + o(x^3)。
公式：(x + x^3/3)(1 - x^2) = x - x^3 + x^3/3 = x - 2x^3/3
提示：只保留次数不超过3的项，忽略o(x^3)的乘积。
步骤 3/3
目标：写出3次泰勒多项式
由乘积结果，3次泰勒多项式为 x - (2/3)x^3。
公式：P_3(x) = x - (2/3)x^3
提示：注意多项式只包含到x^3项。
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