kaoyan1basic 高等数学 第17题
📝 题目
### 【强化篇】第17题（解答题） 17．设函数 $f(x)$ 在点 $x=0$ 的某一邻域内可导，且 $f(0)=0, f^{\prime}(0) \neq 0$ ，求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_{0}^{x^{2}} f(t) \mathrm{d} t}{x^{2} \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t}$ ．
💡 答案解析
**答案**：$1$ **解析**： 步骤1：由积分中值定理，$\int_0^{x^2}f(t)dt=f(\xi_1)x^2$，其中$\xi_1$介于0与$x^2$之间，$\int_0^x f(t)dt=f(\xi_2)x$，其中$\xi_2$介于0与$x$之间。 步骤2：原式$\displaystyle =\lim_{x\to0}\frac{f(\xi_1)x^2}{x^2 f(\xi_2)x}=\lim_{x\to0}\frac{f(\xi_1)}{x f(\xi_2)}$，由于$f(0)=0$，$f'(0)\neq0$，故$f(\xi_1)\sim f'(0)\xi_1$，$f(\xi_2)\sim f'(0)\xi_2$，且$\xi_1\sim x^2$，$\xi_2\sim x$，代入得$\displaystyle \frac{f'(0)x^2}{x\cdot f'(0)x}=1$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：应用积分中值定理简化分子和分母中的积分
由积分中值定理，存在ξ₁介于0与x²之间，使得∫₀^{x²} f(t) dt = f(ξ₁) x²；存在ξ₂介于0与x之间，使得∫₀^{x} f(t) dt = f(ξ₂) x。
公式：∫₀^{x²} f(t) dt = f(ξ₁) x², ∫₀^{x} f(t) dt = f(ξ₂) x
提示：注意ξ₁和ξ₂依赖于x，且当x→0时，ξ₁→0，ξ₂→0。
步骤 2/3
目标：代入原极限表达式并化简
原极限 = lim_{x→0} [f(ξ₁) x²] / [x² f(ξ₂) x] = lim_{x→0} f(ξ₁) / [x f(ξ₂)]。
公式：原式 = lim_{x→0} f(ξ₁) / (x f(ξ₂))
提示：注意约去x²后分母仍有x因子。
步骤 3/3
目标：利用f(0)=0和f'(0)≠0进行等价无穷小替换
由于f(0)=0且f'(0)≠0，当x→0时，f(ξ₁) ~ f'(0) ξ₁，f(ξ₂) ~ f'(0) ξ₂，且ξ₁ ~ x²，ξ₂ ~ x。代入得：lim_{x→0} [f'(0) x²] / [x · f'(0) x] = 1。
公式：f(ξ₁) ~ f'(0) ξ₁, f(ξ₂) ~ f'(0) ξ₂, ξ₁ ~ x², ξ₂ ~ x
提示：等价无穷小替换需确保f'(0)≠0，否则需用其他方法。
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